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最优性

运筹学术语

最优性，运筹学中的术语，对偶问题的基本性质之一。如果X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，并且CX=Yb，那么X和Y分别为原问题和对偶问题的最优解。这个定理说明了如果找到原问题和对偶问题的可行解，且它们目标函数值如果相等，那么这两个可行解都是各自问题的最优解。

定义
标准形式
假定原问题是最大化问题即线性规划问题（LP）的标准形式：
其对偶问题（DLP）如下式所示：
如果xj(j=1,···,n)是原问题的可行解，yi(i=1,···,m)是其对偶问题的可行解，且有
则xj(j=1,···,n)是原问题的最优解，yi(i=1,···,m)是其对偶问题的最优解。
矩阵形式
矩阵形式的线性规划问题的原问题为：
其对偶问题为：
若原问题及其对偶问题均有可行解，且CX=Yb，则原问题和对偶问题的可行解分别均是两者的最优解。
数学证明
一般形式
最优解使某线性规划的目标函数达到最优值（最大值或最小值）的任一可行解。设x*是原问题的可行解，y*是对偶问题的可行解。
原问题如果是最大化问题，必有
对偶问题则是最小化问题，必有
弱对偶性，原问题任一可行解(最优解属于可行解)的目标函数值是其对偶问题的下界：
所以，
由条件知，即上式的两头需要取等式，那么中间的等式也成立：
此等式表明如果原问题和对偶问题目标函数值相等，那必定是在最优解的情形下取得的。
矩阵形式
设X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。由弱对偶性可知对偶问题的所有可行解Yo都存在Yob≥CX，由条件知CX=Yb，所以Yob≥Yb，可见Y是使目标函数取值最小的可行解，因此是最优解。
同理可证明，对于原问题的所有可行解Xo，存在CX=Yb≥CXo，所以X是最优解。
适用范围
无论原问题是极大化问题和极小化问题均适用。
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