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下确界

数学分析中的基本概念

“下确界”是数学分析中的基本概念，它是在“下界”的基础上定义的。任给一数集E，我们称E的最大下界为E的下确界，记为infE. 显然，E中每个元素均大于或等于infE.

一、定义
1. 下界
设给定一数集E，若存在m R，使得对于 x E，都有x m，则称m是集合E的一个下界。
例：若E= ，不难验证只要m ，m就是集合E的一个下界。
2. 下确界
一个数集可以由有限个数组成，也可以由无穷多个数组成，前者称为有限（数）集，后者称为无限（数）集。任何有限数集都有一个最小数，但对于无限数集来说就不一定有最小数了。例如，由一切x 1所组成的数集没有最小数；又如数集 ( )有最小数1/2.
我们知道，有界数集有无穷多个下界。因而，对于有有界数集来说，如果它有最小数，那么这个最小数也是它的下界中的一个，并且比这个最小数大的任何数都不是它的下界，这时，这个最小数自然就是它的最大的下界。
但在上面的例子中已经看到，对一般无限数集来讲不一定有最小数。然而，对于某些无限数集来说，最大的下界确实存在，这里暂时撇开最大下界的存在性，而对一般数集的最大下界给予确切的定义。
设给定一数集E。若存在这样一个数 ，适合以下两个条件：
（i）集E中的一切数 (即 是E的一个下界)；
（ii）对任意给定的正数 ，至少存在一个数 ，使得 （即比 再大一点就不是下界）， 则 叫做E的下确界，记为 或 . 这里inf是infimum的缩写。
第一个条件说明 是E的下界之一，而第二个条件说明凡大于 的任何数都不是E的下界。也就是说 是E的最大下界。
注1 为方便起见，若E无下界，则记 .
注2 上面的条件（ii）等价于：如果 是E的一个下界，则必有 .
二、常用结论
1. 确界的唯一性定理
定理 设数集有上（下）确界，则这上（下）确界是唯一的。
证明：采用反证法。假设数集E有两个不同下确界 和 （ ），显然， 和 均为E的下界，由上面注2可知 且 ，故 . 与假设相矛盾！证毕。
2. 确界存在定理
定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界。
证明：用戴德金分割定理证明。
戴德金定理：对实数集R的任意一个满足不空、不漏、不乱的划分A和B，都存在唯一的一个分点 满足
不空：由于X非空，可取 ，易知x-1不可能为X的上界，故A非空。B非空给定；
；
不乱：设 ，则由 知 不是X的上界，即 ，但又由 是X的上界知 . 综上， 又 ，矛盾。不乱得证。
故存在唯一的一个分点 满足 下证分点为上确界，即 .
若不然， 不成立，则 ，但此时就有 ，由 知 ，与 是划分A和B的分点相矛盾。故 .
下确界同理。证毕。
3. 单调有界数列必有极限
定理 单调有界数列必有极限。
证明：我们只就单调减少的有界数列予以证明。设 有界，则必有下确界 . 再设 是单调减少的，证明 恰好就是 的极限，即 .
由下确界的定义有（i） ；（ii）对任意给定的 ，在 中至少有一数 ，有 . 但由于 是单调减少数列，因此当 时，有 ，从而 . 也就是说，当 时，有
所以
这里不仅证明了单调有界数列的极限存在，而且也证明了如果它是单调减少的，则极限就是它的下确界。同样可证单调增加有界数列的极限存在，并且极限就是它的上确界。
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