最大素数

目前发现的数值最大的素数

最大素数，也是全球已知的最大梅森素数：2136279841−1，按照十进制计算有 41024320 位数字，比此前最大纪录的素数（24862048 位）多 1600 多万位。一位英伟达前员工通过开源项目GIMPS（梅森素数大搜索，Great Internet Mersenne Prime Search）报告了这一结果。

发展

素数的定义

素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数。按照规定，1不算素数，最小的素数是2，其后依次是3、5、7、11等等。　早在2500年前，希腊数学家欧几里德就证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2的n次方减1(2^n－1)”的形式，这里n也是一个素数。但是人类已知的素数很有限，因为数字越大，要发现新的素数就越困难。不过，很多数学家曾对素数问题进行过研究，17世纪的法国教士马丁·梅森就是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1(2^n－1)”形式的素数称为梅森素数。随后，以梅森素数的形式，最大素数的记录被不断刷新。

最大素数历史

1876年，数学家卢卡斯证明了2^127－1是当时已知的最大素数。这个记录保持了75年，这是一个39位的数。

直到1951年，借助于新出现的电子计算机，人们才发现有79位数字的更大素数。1952年时，最大素数是2^2,281－1，有687位数。位数在1,000位以上的素数到1961年才被发现，它是2^4,423－1，共有1332位数。从1951年到1971年的20年间，最大素数的纪录被不断刷新。1971年，美国数学家塔克曼在纽约州的纽克顿利用国际商业机器公司的IBM360/91型电子计算机，历时39分26.4秒，算出了当时的最大素数2^19,937－1，这是一个6,002位的数字，它最前面的五位数是43,154，最后面的三位数是471。

1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括中国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21701。

2008年8月，美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的计算机专家史密斯（E.Smith）通过参加了一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，发现了第46个也是最大的梅森素数2^43,112,609-1，该素数也就是2自身相乘43,112,609次减1，它有12,978,189位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度可超过50公里！最近，这一成就被美国的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一，排名在第29位。

据英国《新科学家》杂志网站报道，美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组于2013年1月25日发现了已知的最大梅森素数——2^57,885,161-1 (即2的57,885,161次方减1)；该素数有17425170位，如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65公里！

据外媒报道，美国州立中密苏里大学柯蒂斯库珀（Curtis Cooper）通过GIMPS项目发现了第49个梅森素数 2^74,20,7281-1（被称为M74207281），为GIMPS项目诞生20周年献礼。

2017年12月26日，互联网梅森素数大搜索（GIMPS）项目宣布发现第 50 个梅森素数和已知最大的素数：2^77,232,917-1，共有 23,249,425 位。该素数已被多人使用不同的硬件和软件完成验证。发现者是 GIMPS 志愿者 Jonathan Pace，他住在田纳西州的 Germantown，是一位电机工程师，他有资格获得 3000 美元的研究发现奖。GIMPS 是一个分布式计算项目，距今已有 20 多年的历史，它利用志愿者的空闲 CPU 创建了一个遍布全球的超级计算机，它的 prime95 软件此前发现了英特尔处理器的一个漏洞。

2018年12月7日，住在美国佛罗里达州奥卡拉市的Patrick Laroche也是通过GIMPS项目发现了第51个梅森素数：2^82,589,933-1（被称为M82589933），共有24,862,048位。

梅森素数

云计算的最大素数

1995 年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是分布式计算因特网梅森素数大搜索（GIMPS）项目。有6万多名志愿者、超过20万台计算机参与这项计划。该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于超级计算机的运算能力，第 37、38 和 39 个梅森素数都是用这种方法找到的。美国一家基金会还专门设立了 10 万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。

素数无限

不存在最大质数!

上小学的时候，我们就知道所有的正整数可以分为质数（素数）和合数两类，当然还特别规定了“1既不是质数，也不是合数”。100以内的质数，从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用说了，你一定背不下来。那么质数的个数是不是有限多的呢？

（附：100以内的质数从小到大依次是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61， 67，71，73，79，83，89，97。共计25个。）

在解决这个问题之前，我们先来看看另一个问题：怎样判断一个已知自然数是不是质数。比如，143是不是质数？

你一定会按照下面这个步骤去判断：先用最小的质数2去除143，不能整除；再用3去试试，还是不行；再依次用5、7试试，还是不行；11呢？行！143=11×13，所以143不是质数，而是合数。所以，判断一个数是不是质数，只需用比这个数小的所有质数，依次去除它即可，如果都不能整除的话，这个数就一定是质数；相反，只要这个数能够被某一个质数整除，这个数就一定是合数。这种方法所依据的原理是：每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积。不用说，这叫做“分解质因数”，也是小学数学的知识。

我们先假设质数的个数是有限多的，用p1，p2，……，pn表示，那么必然存在一个“最大的质数”，设这个“最大的质数”为pn。下面我们找出从1到pn之间的所有质数，把它们连乘起来，就是：

2×3×5×7×11×13×……×pn，设为N

把这个连乘积再加上1，得到一个相当大的数M：

M=2×3×5×7×11×13×……×pn+1，即M=N+1；

那么这个M是质数还是合数呢？

如果M为质数，因M要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的全部素数的集合中。

如果M为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和M（N+1）的最大公约数是1，所以M不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的全部素数的集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

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