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最小多项式

代数数论的基本概念

最小多项式(minimal polynomial)是代数数论的基本概念之一。由Cayley-Hamilton定理，A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

定义
由Cayley-Hamilton定理， ， 是A的特征多项式，则 。因此，对任一矩阵 ，总可以找到一个多项式 ，使 。此时，也称多项式 以A为根。
设 ，在数域P上的以A为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A的最小多项式。
性质
①A的最小多项式是唯一的。
②设是A的最小多项式，则等价于。
③A的最小多项式是它的特征多项式的一个因式。
④A的最小多项式与它的特征多项式在数域P中有相同的根。
⑤相似的方阵阵具有相同的最小多项式。
⑥准对角矩阵的最小多项式等于的最小多项式与的最小多项式的最小公倍数。
⑦r级Jordan块的最小多项式就是它的特征多项式，也是它的初等因子。
应用
最小多项式的求解方法
方法一：
（1）先将A的特征多项式在P中作标准分解，找到A的全部特征值，，，；
（2）对的标准分解式中含有的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A的多项式就是最小多项式。
方法二：
设A是n级复数矩阵，则A的最小多项式是A的最后一个不变因子。
例题
求的最小多项式。
解：A的特征多项式为：
又，
故A的最小多项式为。
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