最小方差

数理科学术语

方差（variance）是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。方差反映了样本数据围绕样本平均值变化的情况，方差值越小，表明数据越靠近平均值，离散程度越小。相反，方差值越大，数据离平均值越远，离散程度越大。在方差中最小的那个数，称为最小方差。

方差

方差（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S表示。

最小方差简介

方差反映了样本数据围绕样本平均值变化的情况，方差值越小，表明数据越靠近平均值，离散程度越小。相反，方差值越大，数据离平均值越远，离散程度越大。在方差中最小的那个数，称为最小方差。

合理优化各部分取值，即可使整个系统方差最小。由于最小方差是实际分布与理论分布之间偏差最小的数，它可以直观地判定样本的类别归属，且计算简单、意义明确。

最小方差法

以最小方差法能反映一个地区类型分布的实际情况。在实际应用过程中，也可利用平方和公式，计算各个类型组合结构假设百分比分布和实际百分比分布之差的平方和，具体公式为：

其中，N为平方和，为各个类型组合结构假设百分比分布，为实际百分比分布。

主要计算流程作如下表述。步骤1，提取样本数据；步骤2，对样本进行数据类型划分，并在各类型中，按数据值大小顺序排列；步骤3，按数据类型，列出假设理论矩阵；步骤4，利用最小方差公式，分别计算出各个类型的实际百分比分布和理论假设百分比分布之差的平方和，所得平方和愈趋近于0，说明实际分布最接近这种理论分布；步骤5，将公式中所求出的平方和与假设组合结构分类标准逐一比较找出其最小N值，确定所属的组合类型。

应用

以最小方差为基准的性能评价技术已经从单变量系统扩展到了多变量系统，且研究成果卓著。

控制系统性能评价技术的创始人Astrom，在1970年将与Box和Jenkins共同创立并将最小方差控制理论应用到控制系统的性能评估上，它的实质是将理想最小方差控制器作用下的系统输出方差作为评估当前控制回路性能的基准。Astrom提出：“当系统处于最小方差控制器作用下，则整个输出序列中滞后时间大于延迟时间的输出序列部分的方差将为零”。

在1992、1993年，Harris和Desbotough又对这一理论做了更深入的研究：（1）将最小方差理论应用于前馈-反馈控制系统的性能评价中，并提出了一种实时性更高在线计算系统输出的最小方差的方法；（2）采用基于方差分析的方法来判断造成控制系统性能下降的原因。

在1993年，Stanfelj等将最小方差性能评价指标应用在单输入单输出SISO控制回路，以评价其性能优劣，并采用相关分析方法来诊断控制回路性能下降的主要原因所在。如：（1）反馈或前馈环节；（2）对象——过程模型不吻合；（3）控制器参数调整时出现的偏差。此外，还有很多研究机构和人员也为控制器性能评价理论的发展作出了杰出的贡献。Kozub和Garcia在Harris的基础上定义了一种新的评价指标——闭环潜力性能指标（closed-loop potential，CLP），并用于控制回路的性能评价；Tyler和Morari利用似然假设检验法来评价闭环控制器的性能，同时将它与以最小方差为基准的性能评价方法进行比较；Lynch和Dumont分别用三种不同的方法来计算实际系统输出可能达到的最小方差，并讨论了过程静态输入输出之间的关系等。

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