最小相位系统

最小相移系统

对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于或等于零，则称它是最小相位系统，如果开环传递函数中有正实部的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统。因为若把延迟环节用零点和极点的形式近似表达时（泰勒级数展开），会发现它具有正实部零点。

定义

最小相位系统(minimum-phase system)在一定的幅频特性情况下，其相移为最小的系统，也称最小相移系统。这种系统的系统函数（亦称网络函数或传递函数）与非最小相位系统相比，二者的幅频响应特性是相同的，但前者的相位绝对值则较后者为小。在保持系统函数的幅频响应特性不变的情况下，使其相位最小的充分必要条件是：对于模拟信号系统，要求其零点(即使系统函数为零的复频率值)仅位于S平面（即复频域平面）的左半平面或虚轴上；对于离散信号系统，则要求其零点仅位于Z平面（即离散信号复频域平面）的单位圆内或单位圆上。常可用于进行相位校正。

对于连续时间系统，如果控制系统开环传递函数的所有极点和零点均位于s左半平面上，则称该系统为最小相位系统。对于离散时间系统，则是所有零极点均位于单位圆内。

一个系统被称为最小相位系统，当且仅当这个系统是因果稳定的，有一个有理形式的系统函数，并且存在着一个因果稳定的逆函数。

特点

最小相位系统主要有以下2个特点：

1、如果两个系统有相同的幅频特性，那么对于大于零的任何频率，最小相位系统的相角总小于非最小相位系统；

2、最小相位系统的幅频特性和相频特性直接关联，也就是说，一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应，一个相频特性只能有一个幅频特性与之对应。对于最小相位系统，只要根据对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。

性质

最小相位系统主要有以下3个性质：

1、如果假设一个最小相位系统有系统函数H(z)，那么，它具有下列性质：

2、从最小相位系统的幅频响应，它具有下列性质：

工程上常用这一性质来消除失真，但是缺点是它消除了幅度失真后会带来相移失真。

从传递函数角度看,如果说一个环节的传递函数的极点和零点的实部全都小于或等于零,则称这个环节是最小相位环节，如果传递函数中具有正实部的零点或极点，或有延迟环节，这个环节就是非最小相位环节。

3、表达时(泰勒级数展开)，会发现它具有正实部零点。

最小相位系统具有如下性质：

判断方法

判断系统是否为最小相位系统的简单方法是：如果两个系统的传递函数分子和分母的最高次数都分别是m，n，则频率ω趋于无穷时，两个系统的对数幅频曲线斜率均为－20（n－m）dB/dec但对数相频曲线却不同：最小相位系统趋于－90°（n－m），而非最小相位系统却不这样。

比较

举例比较最小相位系统和非最小相位系统。假设有两个系统G1（s）和G2（s），其传递函数见表。

G1（s）为最小相位系统，G2（s）为非最小相位系统，0＜ Tz＜ TpoG1（s）和G2（s）的幅频特性相同，但相频特性不同。

G2（s）的一个RHP零点与G1（s）的I－HP零点成镜像，图为最小相位系统G1（s）与非最小相位系统G2（s）的相频特性的比较。由图可知，0< ω< ∞，相位|Φ1（ω）|<|Φ2（ω）|。最小相位系统的相频特性，其相角变化范围是最小的，而非最小相位系统的相位滞后严重。

相关区别

最小相位系统：所有的零点都在单位圆内的传输函数即为最小相位系统。或者说，一个系统函数为H(Z)的系统，如果本身和其逆系统均为因果稳定系统，那么H(Z)即为最小相位系统。判断方法也很简单：如果一个H(Z)的分子的解都小于1，这样的系统就是最小相位系统。另外提一句，所有的零点都在单位圆外的系统就是最大相位系统

全通系统：如果一个输入进入一个系统，输出的时候所有频率分量的幅度均不发生任何改变，这样的系统就是全通系统。一个信号进入全通系统后所有频率分量的幅度不改变，但相位可能会发生改变，这也是为什么很多系统要级联全通系统的原因，因为前面的系统将相位改变了，后面就要级联全通系统对相位进行修正。全通系统其实也很好识别，有他的特征的。就是分母和分子的系数是倒序的。也即所有的零极点对在Z平面上都是复共轭的。

任何有理系统函数都能表示成一个最小相位系统和一个全通系统的组合。H(Z)=Hmin(Z)Hap(Z)。

全通系统与最小相位系统通常用来进行频率响应的补偿。

假定失真系统是稳定且因果的，系统函数为Hd(Z)，若要实现完全补偿，那么补偿系统Hc(Z)必须是Hd(Z)的逆系统。如果进一步要求Hc(Z)也为稳定且因果，那么只有当Hd(Z)是最小相位系统才有可能。

假设我们已知失真系统Hd(Z)要找出其补偿系统Hc(Z)。首先需要将Hd(Z)中全部位于单位圆外的零点反射到单位圆内其共轭倒数的位置上（即最小相位/全通分解）得到一个最小相位系统Hdmin(Z)。且有：

Hd(Z) = Hdmin(Z)*Hap(Z)

那么我们就可以选取补偿系统的系统函数为：

Hc(Z) = 1/Hdmin(Z)

这样就完全补偿了频率响应，并且相位响应具有Hap(ejw)的变化。

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