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最短路径快速算法

数学算法

最短路径快速算法（英语：Shortest Path Faster Algorithm , SPFA)）是一个用于求解有向带权图单源最短路径的改良的贝尔曼-福特算法。这一算法被认为在随机的稀疏图上表现出色，并且极其适合带有负边权的图。然而SPFA在最坏情况的时间复杂度与贝尔曼-福特算法相同，因此在非负边权的图中仍然最好使用戴克斯特拉算法。SPFA算法是在1994年由段凡丁发表的。

算法
给定一个有向带权图 和一个源点 ，SPFA算法计算从 到图中每个节点 的最短路径。对于每个节点 ，从 到 的最短路径表示为 。
SPFA算法的基本思路与贝尔曼-福特算法相同，即每个节点都被用作用于松弛其相邻节点的备选节点。相较于贝尔曼-福特算法，SPFA算法的提升在于它并不盲目尝试所有节点，而是维护一个备选节点队列，并且仅有节点被松弛后才会放入队列中。整个流程不断重复直至没有节点可以被松弛。
下面是这个算法的伪代码。这里的 是一个备选节点的先进先出队列， 是边 的权。
这个算法也可以通过将每条边换为两条逆向的边来用于无向图。
性能
平均情况下的性能
一般情况下，对于一张随机图，基于实验获得的平均时间复杂度为 。
最坏情况下的性能
下面是一种触发该算法低性能表现的数据构造方式。假设要求从节点1到节点 的最短路径。对于整数 ，考虑添加边 并令其权为一个随机的小数字（于是最短路应为1-2-...- ），同时随机添加 条其他的权较大的边。在这种情况下，SPFA算法的性能表现将会非常低下。
优化技巧
SPFA算法的性能很大程度上取决于用于松弛其他节点的备选节点的顺序。事实上，如果 是一个优先队列，则这个算法将极其类似于戴克斯特拉算法。然而尽管这一算法中并没有用到优先队列，仍有两种可用的技巧可以用来提升队列的质量，并且借此能够提高平均性能（但仍无法提高最坏情况下的性能）。两种技巧通过重新调整 中元素的顺序从而使得更靠近源点的节点能够被更早地处理。因此一旦实现了这两种技巧， 将不再是一个先进先出队列，而更像一个链表或双端队列。
距离小者优先 （Small Label First，SLF)，在伪代码的第十一行，将总是把 压入队列尾端修改为比较 和 ，并且在 较小时将 压入队列的头端。这一技巧的伪代码如下（这部分代码插入在上面的伪代码的第十一行后）：
距离大者置后（Large Label Last，LLL)，在伪代码的第十一行，我们更新队列以确保队列头端的节点的距离总小于平均，并且任何距离大于平均的节点都将被移到队列尾端。伪代码如下：
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