最短路问题

网络理论解决的典型问题之一

最短路问题（short-path problem）是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。基本内容是：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。

理论概要

最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。

最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。

对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。

理论重点

单源最短路径

包括确定起点的最短路径问题，确定终点的最短路径问题（与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。）。

求解单源最短路径问题可以采用Dijkstra算法，时间复杂度为O(|V|^2)。Dijkstra算法可以使用斐波那契堆、配对堆等支持Decrease-Key操作的数据结构来进一步优化，优化后的时间复杂度为O(|E|+|V|log|V|)。

Dijkstra只可求无负权的最短路径，因为其目光短浅，看不到后面可以消减的量。在正数中容易得证，若aB的距离固定为1，不再改变，但其实A->B最短路是-1，虽然A->C的最短路是正确的，为-2，但这样的算法是不可使用的。

如果图1中有负权回路，可以采用Bellman-Ford算法，算法复杂度是O(|V||E|)。但Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，可用SPFA算法进行优化，SPFA算法是用队列进行的优化，优化后时间复杂度为O(k|E|)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2，由此可见该优化的效果十分显著。

全局最短路径

求图1中所有的最短路径可以采用Floyd-Warshall算法，算法时间复杂度为O(|V|^3)。对于稀疏图，还可采用Johnson算法，其采用Bellman-ford和Dijkstra作为其子函数，时间复杂度为O（VElgV）。二者都可计算含负权路径的图，但不可含有负环。

两点最短路径

即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。通常可以用广度优先搜索（BFS）、深度优先搜索（DFS）等方式来实现，时间复杂度是O(|V|)。

应用领域

城市网络

运用最短路原理，解决交通运输管理系统的问题，具有非常重要的现实意义。根据实时交通状况，赋予城市路网中每段线路以时间权值，利用最短路原理，计算出车辆运行时间最短的路线并汇总，通过新媒体及时向广大群众发布信息，指导广大群众选择行驶路线，进一步提高现有道路通行能力，提高道路服务水平，满足现代化高速发展的需求。

舰船通道

利用图论的经典理论和人群流量理论研究舰船人员通道路线的优化设计及最优线路选择。对船舶通道进行路网抽象,建立网络图,然后根据人群流动的相关理论,选取不同拥挤情况下的人员移动速度,从而确定各条路段(包括楼梯)的行程时间。以行程时间作为通道网络的路权，得出路阻矩阵以选择一对起点/终点的最短时间路线为目标,建立最短路径问题的数学模型,利用经典的Floyd算法确定最短路径。将此方法应用于某舰艇多层甲板的通道网络中,计算结果并进行讨论,最后在此研究的基础上对通道设计相关问题的深化和拓展进行了探讨和总结,并提出设想。

其他应用

火灾救护，物流选址，网络空间建设等等，有着极为广泛的应用。

应用算法

关于最短路问题的一个双目标优化问题

本文研究了一个双目标最短路问题的变形问题，在该变形问题中，一个目标函数还是路的长度，另一个目标函数则是路的容量。在Paretooptimal最优解的意义下，本文给出了一个时间复杂性为O(n3)的算法，在字典序最优解的意义下，本文给出了一个时间复杂性为O(n2)的算法。

对 (BsP )，在Pareto一optimal意义下,有时间复杂性为O(n3)的算法。

下面分析算法的时间复杂性,每循环一次至少删去一个顶点,每次循环调用两次Dijkstra算法，故算法的时间复杂性为O (n3)。

对(BsP)，在字典序意义下有时间复杂性为o(n2)的算法。

注：该算法在一定意义下是最好的，因为找一条：→的路的时间复杂性都为O(n2)。

求解最短路问题的一种优化矩阵算法

矩阵算法是求解不含负回路的网络中所有顶点对之间最短路的有效算法之一，但当节点比较多时，计算的矩阵多，重复计算量大，降低了计算效率。为此，提出了一种优化的矩阵算法，该算法的思路是利用权矩阵计算网络任意两节点之间的最短路长。计算实例表明，优化的矩阵算法减少了重复计算，简化了路径标注方法，提高了计算效率。

PSO 算法的早期收敛非常快，在算法初期应在保证粒子多样性的基础上，尽快让算法进入局部搜索，才能获得更好的求解效率；而在算法后期则粒子应保留一定的搜索能力，避免过早收敛。

最短路问题的Floyd算法的若干讨论

对不含负回路的网络中所有顶点对之间的最短路问题，通常采用Floyd算法。对此算法进行了讨论，并对Floyd算法的计算过程作了一点改进。改进后的算法对阶数不太大的网络进行较简单的计算就能得出所有顶点对之间的最短路。

可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。

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