最速降线问题

变分法问题

最速降线或捷线问题是历史上第一个出现的变分法问题，也是变分法发展的一个标志。此问题是1696年约翰·伯努利在写给他哥哥雅克布·伯努利的一封公开信中提出的。问题的提法是：设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短。

简介

在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最快的呢？伽利略于1630年提出了这个问题，当时他认为这条线应该是一条圆弧，可是后来人们发现这个答案是错误的。1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题。这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。

旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。

看一个稍微有点振奋人心的东西，约翰·伯努利对最速降线问题的非常精妙的解答：

如果使分成的层数n无限地增加，即每层的厚度无限地变薄，则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线，因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线，它是一个圆沿着一条直线滚动正（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。

因此，最速降线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了。

求解

列出表达式

设 O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m在重力作用下从 O点沿一曲线降落至。A(p,q) A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。

设曲线为 y=y(x) ，坐标如图1 所示，质点由 O点开始运动，它的速度 v与它的纵坐标有关系

式中， g是重力加速度。

在曲线上点 (x, y) 处，质点的运动速度为

式中， s表示曲线的弧长， t表示时间，于是

由于点 O, A的横坐标分别是 0, p，则质点 m从 O点运动到 A点所需时间为

这样，质点由 O点运动到 A点所需时间 t是 y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件的

所有连续函数 y(x)中，求出一个函数 y使泛函式取最小值。

对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。

最终解答

解

且y(0)=0,y(p)=q

这样

其E-L方程为

由于

所以有

则可得

上式对θ求导，所以

根据曲线过原点(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，这样，所求曲线为

应用

最速降线无论在数学上还是物理上都进行过严格的证明, 对工程来说, 其物理原理为在同一高度滚下的两个球, 两球下滚的原因都是受重力分力的作用, 沿直线下滚的球, 下滑的加速度保持不变, 速度稳定地增加。沿着旋轮线下滑时, 开始的一段的坡度非常大, 使得下滑的球在非常短的时间内取得的下滑速度非常大。虽然, 在下滑的后半阶段, 坡度逐渐变小、速度增加变缓, 但此时的下滑速度已经变得很大。所以, 沿着旋轮线下滑在整个下滑阶段的平均速度很大。即使旋轮线的长度比直线的长度大, 沿着旋轮线下滑的时间也比直线短。

例如，最速降线理论在粮食仓储物流中有广泛的应用, 在解决仓储工艺和设备上可发挥重要作用, 如改善空气斜槽、溜管和布粮器等设备的性能参数, 优化粮食仓储工艺等。

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