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有向单形

建立同调群的重要概念

有向单形(oriented simplex)是建立同调群的重要概念。一个q维单形，它的q+1个顶点有(q+1)!个不同次序的排列，当q>0时，这些排列可分成两组，同组的任意两个排列相差偶数个对换，不同组的任意两个排列相差奇数个对换，这两组排列称为此单形的两个定向，换言之，根据顶点次序是奇排列还是偶排列分成两组，称为q的两个定向，并且称为互为相反的定向，指定一个定向的单形称为有向单形。

基本介绍
一个 维单形 ，它的 个顶点有 个不同次序的排列，当 时，这些排列可分成两组，同组的任意两个排列相差偶数个对换，不同组的任意两个排列相差奇数个对换，这两组排列称为单形 的两个定向。换言之，根据顶点次序是奇排列还是偶排列分成两组，称为 的两个定向，并且称为互为相反的定向。
指定一个定向的单形称为有向单形。例如，排列 与 就确定了 的两个相反定向，相应的两个有向单形分别记为 与 ，若把一个记为 ，则另一个就记为 ，对于零维单形只有一个顶点，为统一起见用 表示它的两个定向，有向单形在 时分别是有向线段和有向三角形。为区别起见，原来的单形可称为无向单形。单纯复形是几何对象，而群是代数对象，从复形过渡到它的同调群，关键是单形的定向与边缘算子这两个概念。
相关定义与定理
设 是Rn中的点，若 具有线性关系，则说明这一组点占有最广的位置。当 时就是一个点，自然此点占有最广位置。
单纯形
设 是Rn中占有最广位置的 点，而 ，则我们称点 的集合
为q维单纯形，简称q维单形， 称为 顶点，故常将 记作 ，而系数 称为此单纯形的重心坐标。
定义 对于q维单形 ，称 的( )个顶点中的 个点 所构成的 维单形 为 的一个r维面， 的0维面就是顶点，把1维面称为棱。
例1 考虑3维单形，对于点，就有，
例如，维面，为棱，为面，为体，如图1所示。
有向单形与无向单形
当 时， 的 点有 个排列，它们决定同一个 ，这样的单形 被称为无向单形，在 排列中，有一半是偶置换，一半是奇置换，因而这两个置换等价类构成了 两个定向，指定一个定向单形称为有向单形，简记“”=，这里指顶点次序为的有向单形；另一个定向单形记作“”=，以单纯形作为构件，可以组成单纯复合形、多面体和链。
单纯复合形(复形)
如果或是一个公共面，则单形和是规则相处的，如图2所示，否则是不规则相处的，如图3所示。
设W是Rn中有限个单形集合，如果W满足下列两个条件：
(1)如果，的任一面也属于W；
(2)W的任意两个单形和规则相处，
则称W为单纯复合形，简称为复形，如图4所示；否则是非复形，如图5所示。
有向单形的基本组
设W是一个n维复形，它的全体无向单形
都己任意地规定了一个定向，这里为W中q维单形的个数，这样，得到一组有向单形
上式称为W的有向单形的基本组。
链
设为n维复形W的一个基本组，对于，形式地定义
称为W的一个q维链。
1维链可看作是有向的折线。
链边界
如果把边界算子扩展到有向单形和复形上去，则有下面的链边界。
定义 对于任意q维有向单形，我们定义()维链：
称之为的边界链或简称边界。式中表示缺这一点，也可以把扩展到W的q维链上去，定义W的任意q维链的边界为
由此可见，边界算子建立了链群到的一个同态：
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