有理函数域

数学术语

有理函数域(rational function field)是一种重要的纯超越扩张。纯超越扩张是一类重要的超越扩张。设扩域K在F上的超越基为S，若K=F(S)，则称此域扩张为纯超越扩张，K为F的纯超越扩域。

定义

若K为域，则关于不定元x1，x2，…，xn的多项式环K[x1，x2，…，xn]是整环，且其商域K(x1，x2，…，xn)是由形如：

的元素组成。因此，K(x1，x2，…，xn)称为域K关于不定元x1，x2，…，xn的有理函数域，其中每个f/g称为域K上的有理函数。

性质

K(x1，x2，…，xn)中任一不属于K的元均为超越元。

纯超越扩张

域扩张K(x1，x2，…，xn)/K是纯超越扩张。有理函数域是一种重要的纯超越扩张。

纯超越扩张是一类重要的超越扩张。设扩域K在F上的超越基为S，若K=F(S)，则称此域扩张为纯超越扩张，K为F的纯超越扩域。此时，K与F上一组未定元X的多项式环F[X]的分式域(商域)F(X)同构，其中X与S的基数相等。一般地，设K是F的任一扩域，若其超越基为S，则F(S)是F的纯超越扩域，K为F(S)的代数扩域。这样，一个域扩张可分成两种特殊的域扩张来研究，即FF(S)K。超越次数为1的纯超越扩张称为单超越扩张。

代数扩张

代数扩张是一类重要的域扩张。设E是F的扩域，若E中元皆为F上的代数元，则称此域扩张为代数扩张，E称为F的代数扩域，否则称为超越扩张，而E称为F的超越扩域。代数扩张具有传递性。当α是F上代数元时，其单代数扩域F(α)同构于F[x]/(p(x))，p(x)是α的最小多项式，(p(x))表F[x]中由p(x)生成的主理想。

域扩张

域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

域

设P是一至少含有两个元素的环，如果在P中乘法还具有下列性质：

(1)有单位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，对所有的a∈P；

(2)有逆元素，即对p中每个非零元素a都有一元素a，使aa-1=a-1a=e；

(3)交换律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一个域。域有下列的基本性质：

(1)域没有零因子；

(2)若集F在两个二元运算(加法和乘法)下满足下列条件，则F为一个域：

①F是以零为单位元的加法群；

②由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群；

③乘法对加法是可分配的；

(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，并记作x=a/b；