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有理系数多项式

高等代数里面多项式因式分解讨论的一个特例

有理系数多项式是高等代数里面多项式因式分解讨论的一个特例。我们知道，每个次数大于等于1的有理系数多项式都能惟一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题。

定义1
设
其中，每个系数属于有理数，则称为有理系数多项式。
选取恰当的整数乘，总可以使是一整系数多项式。如果的各项系数有公因子，就可以提出来，得到
也就是
其中是整系数多项式，且各项系数没有异于的公因子。
例如
如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积，即
可以证明，这种表示方法除了差一个正负号是惟一的。亦即，如果
其中都是本原多项式，那么必有
因为与只差一个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题。并且，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。
在有理系数多项式的因为分解问题中，我们有如下几个定理：
定理1（高斯（Guass）引理）
两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
定理2
如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。
推论1
设是整系数多项式，且是本原的。如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的。
这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法。
定理3
设
是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中互素，那么必有。特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子。
例1
求方程
的有理根。
这个方程的有理根只可能是。用剩余除法可以得出，除去1以外全不是它的根，因之这个方程的有理根只有。
例2
证明
在有理数域上不可约。
如果可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个有理根。但是的有理根只可能是。直接验算可知全不是根，因而在有理数域上不可约。
定理4（艾森斯坦判别法）
设
是一个整系数多项式。如果有一个素数，使得
那么在有理数域上不可约的。
根据定理4，可知对于任意的，多项式
在有理数域上是不可约的。由此可见，在有理数域上，存在任意次数的不可约多项式。
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