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有界集

可以被有界区间包含的实数集

有界集(bounded set)是一类重要的集合，指可以被有界区间包含的实数集，也就是被长度有限的区间包含的集合。“有界”和“边界”是不同的概念，后者看到边界（拓扑）。 孤立的圆是无边界的有界集合，而半平面是无界的，但是具有边界。在数学分析和相关的数学领域，一个集合被称为有界的，如果它在某种意义上是有限的大小。 相反，没有界限的集合被称为无界。 在没有度量的一般拓扑空间中，有界的词无意义。

定义
有界集(bounded set)是一类重要的集合，指可以被有界区间包含的实数集，也就是被长度有限的区间包含的集合。
“有界”和“边界”是不同的概念，后者看到边界（拓扑）。 孤立的圆是无边界的有界集合，而半平面是无界的，但是具有边界。
在数学分析和相关的数学领域，一个集合被称为有界的，如果它在某种意义上是有限的大小。 相反，没有界限的集合被称为无界。 在没有度量的一般拓扑空间中，有界的词无意义。
如果存在实数k，则将S的实数称为有界，使得对于S中的所有s，k≥s。数k被称为S的上界。从下面和下限界定的术语也是类似的定义。如果集合S具有上限和下限，则它是有界的。 因此，如果一组实数被包含在一个有限的间隔内，则它是有界的。
公制空间
度量空间（M，d）的子集S如果包含在有限半径的球中是有界的，即如果在M和r> 0中存在x，使得对于S中的所有s，我们有d（x， s）有界度量空间（或d是有界度量），如果M被界定为自身的子集。
总有界意味着有界。 对于的子集，两者相当。
当且仅当它完整且完全有界时，度量空间是紧凑的。
欧氏空间的子集当且仅当它是封闭和有界的时才是紧凑的。
拓扑向量空间
在拓扑向量空间中，存在对有界集合的不同定义，有时称为冯诺依曼边界。 如果拓扑向量空间的拓扑由均匀的度量引起，如在由标准向量空间范数引起的度量的情况下，则两个定义重合。
有序理论
当且仅当具有上限和下限时，一组实数是有界的。该定义可扩展到任何部分有序集合的子集。请注意，这个更一般的有界概念不符合“大小”的概念。
如果在P中存在一个元素k，则部分有序集合P的子集S被称为界限，使得S中的所有s的k≥s。元素k被称为S的上限。下面和下面的概念绑定的定义类似。
部分有序集合P的子集S如果同时具有上限和下限，则被称为边界，或者等价地，如果它包含在间隔中。注意，这不仅仅是集合S的属性，而是集合S中的一个作为P的子集。
有界的偏序集P（即本身不作为子集）是具有最少元素和最大元素的偏序集。注意，这种有界限的概念与有限大小无关，并且有限的偏序集 P的子集S以P的顺序的限制不一定是有界的偏序集。
的子集S相对于欧几里德距离是有界的，当且仅当它被定义为具有乘积顺序的Rn的子集时。然而，S可能被定义为具有词典序列的的子集，而不是关于欧几里德距离。
一类序数据说是无界的，或者是合法的，当给出任何序数时，总是有一些类的元素大于它。因此，在这种情况下，“无界”并不意味着无限自己，而是作为所有序数的类的子类而无界。
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