有限冲激响应数字滤波器

非递归型数字滤波器

有限冲激响应数字滤波器(finite impulse re¬sponse digital filter) 数字滤波器的单位冲激响应h(n)只含有有限个非零样值的一类滤波器，简记为FIR。它的一般实现为非递归型结构，故也称为非递归型数字滤波器。

定义

有限冲击响应数字滤波器具有绝对稳定的特性，易于直接根据脉冲响应技术条件进行设计；可以在逼近任意幅度特性的同时，实现对称的脉冲响应；可以实现严格的线性相位特性。由于它具有以上诸优点，所以在数据通信和数字通信系统中，有着广泛的应用。

有限冲激响应数字滤波器的设计，主要是使转移函数H(z)在单位圆上的值H（e）逼近给定的幅度特性。常用的设计方法有：窗函数法、频率采样法和等波纹机助优化设计法等。有限冲激响应数字滤波器可用乘法累加器或通用数字信号处理器（DSP）实时实现。

数字滤波器

对单位冲激的输入信号的响应为有限长序列的数字滤波器。它的主要特点是具有精确线性相位特性。有限冲激响应数字滤波器一般实现为非递归型结构,因此,又称为非递归型数字滤波器。非递归型滤波器具有绝对稳定的特性，而且，运算有限字长所产生的输出噪声也较小。按所处理信号的类型可分为一维有限冲激响应数字滤波器和二维或多维有限冲激响应数字滤波器。

数字滤波器（digital filter ）通过对数字信号的运算处理，改变信号频谱，完成滤波作用的算法或装置。它可以用计算机软件或大规模集成电路硬件实时实现。

原理数字滤波器是一个离散时间系统。线性、时不变数字滤波器是最基础的数字滤波器，其特性可描述为：设数字滤波器的输入和输出信号序列分别可以由x(n)，y(n)，{n=0，1，2…}表示，则该数字滤波器的算法可由下列差分方程式表达即图1.

分类数字滤波器按其单位冲激响应h(n)性质分类，有有限冲激响应数字滤波器（FIR)和无限冲激响应数字滤波器(IIR)之分。有限冲激响应数字滤波器(FIR)一般输出和输入间无反馈路径，亦称非递归型滤波器，特性稳定。无限冲激响应数字滤波（IIR）输入间有反馈路径，故称递归型滤波器，在系数取值不当时可能引起振荡。

数字滤波器还可以按其所处理信号类型分类，分为一维数字滤波器和二维或多维数字滤波器。一维数字滤波器处理单变量函数信号序列，例如，语音信号、时间函数的抽样值。二维或多维数字滤波器处理两个变量或多个变量的函数信号序列，例如，二维图像的离散信号是平面坐标的抽样值。

一般模拟滤波器是因果的、线性的和时不变的。也就是说，模拟滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后的激励无关（因果性）；对单个或多个激励信号的响应满足线性条件（线性）；内部参数不随时间而变化（时不变）。而数字滤波器则可以实现为因果的或非因果的，线性的或非线性的、时不变的或时变的。这就是数字滤波器具有灵活性、多变性和适应性的特点，它可以实现模拟滤波器所不能实现的功能。

使用方法通信信号源常是连续时间信号，例如，语音信号和图像信号。应用数字滤波器处理此类信号时，须先对所处理的信号进行限带、抽样和模-数变换，然后进行数字滤波。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍。这是因为数字滤波器的幅频响应是以抽样率为间隔呈周期重复的特性，并且是以折叠频率(1/2抽样频率点)呈镜像对称。为了保证滤波后输出频谱不发生混叠，必须满足上述抽样率要求。为得到输出为连续时间信号，数字滤波器的输出须经数模变换和平滑滤波。

设计数字滤波器的设计理论和设计方法已很成熟。有限冲激响应数字滤波器可以实现严格的线性相位特性，并且保证绝对稳定。无限冲激响应数字滤波器设计时，应考虑稳定性问题，其转移函数的极点必须保证位于Z平面的单位圆内。由于应用计算机辅助优化设计和仿真技术，目前，可以应用数字滤波器设计软件包，根据给定技术指标，在计算机上自动化设计，给出满足要求的设计结果。

实现和应用随着大规模和超大规模集成电路技术的进展，数字滤波器的实时硬件实现也发展得很快。原先应用存储器和加法器实现的，现在可以用单片微处理器实现。要求处理速度较高，运算量较大的可以用单片通用高速数字信号处理器(DSP)(含有乘法器）实时实现。高速或运算量大的可以用阵列处理器实现。产量大、小型化要求高的还可以设计成专用集成电路(ASIC)实现，

由于数字滤波器具有高精度、高稳定性、高可靠性、可复用、无介入衰耗，以及可实现严格的线性相位，所以在通信工程中有非常广泛的应用。

例子

一维有限冲激响应数字滤波器　又称一维非递归型数字滤波器，处理单变量信号序列。其输出y(n)可以直接由输入序列x(n)和单位冲激响应序列h(n)褶积而得

y(n)=n(k)x(n-k)　(1)

式中N为数字滤波器单位冲激响应长度。单位冲激响应h(n)的z变换H(z)为有限冲激响应数字滤波器的转移函数

H(z)=n(n)z　 (2)

一维有限冲激响应数字滤波器实现为非递归型结构（图1）。　有限冲激响应数字滤波器的设计，主要是使转移函数在单位圆上的值

H()=n(n)z　(3)

逼近一个理想幅度响应Hd()。设计一维有限冲激响应数字滤波器常用的方法有：窗函数法、频率采样法和等波纹机助优化设计法。

窗函数法　设计有限冲激响应数字滤波器最直接的方法就是把无限冲激响应序列截短，得到有限长度的冲激响应。设所要求的理想频率响应为Hd(),其单位冲激响应Hd(n)为Hd()的傅里叶反变换。Hd(n)是非因果无限长序列。为使得所设计的数字滤波器的有限冲激响应h(n)逼近hd(n)，采用对hd(n)加窗的方法，即令

h(n)=hd(n)w(n)　(4)

式中w(n)为有限长度窗序列。由褶积定理可求得所设计的滤波器的频率响应为

(5)

式中W()为窗序列w(n)的频谱函数。选取适当的窗序列可以得到对理想频率响应Hd()的较佳逼近。常用的窗序列有矩形窗：

(6)

汉宁窗：

(7)

海明窗：

(8)

布莱克曼窗：

(9)

凯塞窗：

(10)

式中α为控制主瓣宽度和旁瓣电平的设计参数，

，

I(·)表示零阶贝塞尔函数。图2为上述五种窗函数的曲线。附表列出上述五种窗函数的性能参数。

除上述所列的五种窗函数外，尚有其他类型的窗函数。一般窗序列函数均可表示为闭函数形式，便于设计应用。　频率采样法　频域逼近的一种设计方法。由于有限长度冲激响应序列可以由同样长度的频域抽样值唯一地确定，因此，对理想频率响应可以在频域取等间隔抽样插入逼近。利用过渡带抽样值设为待定变量的自由度，应用线性规划优化方法可以求得对理想频率响应的逼近。

等波纹机助优化设计法　利用等波纹逼近方法，使逼近函数在整个频率域内与理想频率响应的误差为最小，然后用雷麦兹法求解。这种方法虽然计算较复杂,但主要是利用计算机辅助设计，设计效率较高、效果较好。线性相位有限冲激响应数字滤波器的缺点是时延较大，如果不要求线性相位特性，可以设法将转移函数在单位圆外的零点反演到单位圆内，设计成具有较小时延的最小相位有限冲激响应数字滤波器。

二维有限冲激响应数字滤波器　通称二维非递归型数字滤波器，用以处理二维数字信号序列。其输出可以由输入的二维信号序列x(m,n)与单位冲激响应序列h(m，n)进行二维离散褶积求得

(11)

式中N1和N2分别为数字滤波器单位冲激响应的维长度。单位冲激响应h(m,n)的二维z变换H(z1,z2)为二维非递归型数字滤波器的转移函数

(12)

二维非递归型数字滤波器与一维非递归型数字滤波器有相似之处。设计方法主要有窗函数法、变换法和等波纹机助设计法等。窗函数法的二维窗序列wⅡ(m,n)可以由一维窗序列wI(k)导出

(13)

窗函数法设计简便，且不限于设计零相位数字滤波器。变换法是用变量代替法将一维零相位非递归型数字滤波器变换为二维非递归型数字滤波器。

这种设计方法比较复杂，且只限于设计零相位滤波器。等波纹机助设计法可以设计具有最佳特性的非递归型数字滤波器。

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