有限集合

数学概念

有限集合是由有限个元素组成的集合，也称有穷集合。例如，由北京、天津、上海三个直辖市组成的集合，由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合，叫做单元素集合，至少含有一个元素的集合叫做非空集合，不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一个，一般用希腊字母Φ(或{})来表示。例如，如果一个集合是以某班的某次数学测验不及格的学生为元素，而事实上全班学生在该次数学测验中成绩都及格，那么这个集合就是一个空集Φ。在集合论中，约定空集Φ为有限集合，空集是一切集合的子集。

定义

定义1 小于或等于某一自然数n的那些自然数的集合叫做自然数串的一个线段，并用符号来表示。

定义2 与自然数串的一个线段对等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做无限集合。

换句话说，有限集合(如果它不是空的)就是这样的集合，它的元素是可以“编号”的，也就是，可以把它的元素编上号码，写成：，并且所有的元素都已数到，从1到n的各个自然数全被用过而且不同的元素得到了不同的号码，至于无限集合则是它的元素不能被这样“编号”的集合，与有限(或无限)集合等势的集合是有限的(相应地，是无限的)，介绍有限集合和无线集合的另一种定义。

定义3 不含有与其自身对等的真子集合的集合，以及空集合，都叫做有限集合，不是有限集合的集合叫做无限集合。

从下面定理1和定理7就推出：定义2与定义3是等价的，事实上，如果集合在定义2的意义下是有限的，那么，根据定理1，它在定义3的意义下也是有限的，反过来，如果集合在定义3的意义下是有限的，那么，在定义2的意义下它应该也是有限的，因为，如若不然，它在定义2的意义下是无限的，从而根据定理7，它在定义3的意义下也是无限的，而这是不可能的，因此，有限集合的两个定义是等价的，由此(利用反证法)立刻推出无限集合的两个定义的等价性。

我们要指出，定义3要比定义2好一些(诚然，这只是在形式上如此)，因为它是用集合的一般理论的术语陈述出来的，而定义2却是以自然数串的一些熟知的性质为其先决条件的。

相关性质定理

定理1

(有限集合的基本定理)有限集合不能与它的任何真子集合或真母集合对等。

证明：（文中所有定理的详细证明请参考文后书籍）定理中两个论断(与子集合和母集合的不对等)的每一个论断，都可以容易地从另一个论断推出，因为，如果A～B而且，那么从A和B两集合之一的有限性，像上面已经指出的那样，即可推出另一集合也是有限的．因此，例如．让我们来证明：有限集合小能与它的真子集合对等，对于空集A=0，定理是成立的，因为空集合绝不会有真子集合，设A≠0，于是，按照有限集合的定义，集合A便对等于自然数串的一个(至少对等于一个)线段，让我们对于数n用归纳法证明：A不可能一一映象在它自己的真子集合B上，对于n=1，这是显然的，因为而且只包含一个元素，B=0是它唯一的一个真子集合，所以A不对等于B。

假设定理对于自然数n已被证明了，我们要证明定理对于n+1也是正确的，因此，设，而且f是A 在B上的一个一一映象，用与A的元素对应的那些自然数给A的元素编号，我们将得到

对于B=0，论断是正确的，如果B≠0．那么，无损于普遍性。可设，因为如若不然，我们取b∈B，并在B中用代换b而造成新集合B1；再构成新映象，使它和映象，除了具有性质的元素a之外，对于A的其他所有元素完全相同，并且假定对于元素a有于是就是A在其含有的真子集合B1上的一个一一映象。其次，无损于普遍性，可以认为因为如若不然。设，于是，再构成新映象，使它和映象，除了和这两个元素外，对于A的其他所有元素完全相同；并且假定因此，总起来，我们设并更设，所以，因而，这就是说，B'是A'的一个真子集合。因为所以映照便建立起了集合A'与B'的对等性，但是所以我们便得到了与归纳法假定相矛盾的结果，而我们定理的沦断正就是那个假定，因此，这就是说，全部定理已被证明。

从定理1容易推出定理2。

定理2

每一个非空有限集合与自然数串的一个线段而且仅只一个线段对等。

定义4

对于非空有限集合A，由所唯一确定的自然数n叫做集合A的元素数，数0叫做空集合的元素数。

从对等的性质就推出：两个有限集合在而且仅只在它们具有相同的元素数时，才是对等的，所以，可以把元素数看成是有限集合的势的定义。

定理3

有限集合的任一子集合是有限集合，无限集合的任一母集合是无限集合。

定理4

有限集合A的元素数永远大于它的真子集合B的元素数。

定理5

全部自然数组成的集合N，以及含有与N对等的子集合的集合，全是无限集合。