杂质能带

掺杂浓度很高、以致相邻杂质原子的基态电子轨道发生交叠时杂质能级展宽后的能带

杂质能带是指掺杂浓度很高、以致相邻杂质原子的基态电子轨道发生交叠时，杂质能级展宽后的能带（禁带里产生一些定域的分立的能级）。

简介

众所周知，由许多原子靠近、电子轨道相互重叠并成键后即组成晶体，则其中的电子状态即由原子中的能级状态转变为能带状态——即能级展宽为能带。电子在杂质能带中同样具有一定的导电性；不过因为杂质原子轨道的交叠不会很大，则杂质能带的宽度较小，从而导电作用不大（一般只是在低温下有贡献）。

杂质浓度不高时的情况，它们在禁带里产生一些定域的分立的能级。但是当杂质浓度提高时，杂质波函数（即束缚电子在杂质附近出现的几率）会发生重迭，电子或空穴可以从一个杂质转移到另一个杂质上去，因而形成了杂质能带，位于禁带中，被杂质束缚的电子或空穴可在该带内自由运动。如果继续提高杂质温度，杂质能截将进一步变宽，并可能和主带边重迭，使电子状态密度从主带边一直延伸到禁带中去，形成所谓杂质带尾，或简称尾带。

杂质能带的形成理论

当施主杂质依度非常高，相邻杂质中心的束缚电子波函数互相交叠。这时被施主杂质俘获的电子不再束缚或局限于某一个施主杂质中心。这些电子可以依靠隧道效应穿过分割相邻杂质原子的势垒，成为非局域化电子。这就形成了杂质能带。杂质能带的宽度正比于相邻束缚电子波函数交叠的程度。

图1是Si的电子浓度和温度关系的实验结果。给出的没有杂质能带的理论比较，图1中# 126和#140单晶样品显示出：电子浓度比较高，而随温度的变化比较小。图1中# 140样品杂质浓度最高，大约1020cm-3，其实验结果显示出电子浓度具有接近金属的行为（和温度的依赖关系微弱）。这表明电子不再受到施主杂质中心的束缚，施主束缚态已经消失。

形成杂质能带是解释杂质束缚态消失的一种理论观点。另外一种理论观点是：推测杂质势能被高电子浓度屏蔽了。但是这种论点用于高杂质浓度的情况尚有根本的缺点。因为电子来源于施主杂质，平均地看，一个施主杂质原子只有一个电子，尚不足以形成屏蔽效应。这种理论只有当存在另外的电子（或空穴）来源时才有效，这时电子（或空穴）浓度远大于杂质浓度，所以有许多电子来屏蔽一个杂质原子。这种情况确实存在于MOS电容和MOSFET的强反型沟道区，以及在大电流情况或强光照射下p/n结二极管的基区和双极型晶体管的基区和集电区。

我们将阐述两种计算临界施主杂质浓度的简单模型。在该浓度，由于相邻杂质中心的束缚电子波函数互相交叠而使施主的束缚电子态消失。此杂质浓度称为半导体性向金属性转变的浓度、临界浓度或退局域化浓度。

第一种模型就是传统的Bohr半径模型。该模型比较粗略，而且给出的杂质浓度太高。第二种模型是作者设计的一个新模型，其着眼于分割相邻杂质原子的杂质势垒高度。该模型概念简明，定量更精确。两种模型都采用电子束缚于杂质的Bohr半径作为量度。这样不仅概念简单，而且一旦实验测得其他杂质的束缚能，也同样能够适用。在第一个模型中（Bohr半径模型），选用Bohr半径an作为杂质临界距离

scm=2an

于是，临界杂质浓度就是Ncr=Scm-3=1/（8an3）大于此数值，就形成杂质能带，电子就不再局限于某一个杂质附近。在这个模型中，n和an都可以趋近于无穷大，即使非常低的杂质浓度，最高的激发态也能形成杂质能带。因此能带的边缘是不确定的，而且在空间上受到杂质势能的调制。这种能带边缘势能调制会改变E—k图的曲率，从而改变电子和空穴的有效质量。因为不完全电离效应从最低的束缚态俘获电子开始发生，所以当基态消失，或者说一旦杂质基态形成了能带，那么不完全电离效应就不可能发生。

第二个比较好的估算方法是着眼于分割相邻杂质原子的杂质势垒高度。这个模型在图2中画出，两个施主杂质之间的间隔是8a1图2中可以看出，如果杂质原子之间的距离达到临界距离scr=8a1，那么两个杂质原子之间的势能最大值就和E1相同（这将在后面证明），这时势垒就不存在了。因为邻近的杂质不止一个，还有较远一些的杂质，所以实际势垒还会更低一些。我们在只考虑两个相邻的施主杂质原子的情况下估算scr一个带正电荷的施主杂质原子对电子的势能是：V（r）=-q/（4πεsr），其中εs是Si的介电常数。因此，当两个相邻施主杂质原子间隔为scr=2xrc时，中间的势垒高度为

2V（r）=-2q2/（4πεsxrc）=E1=-2q/（84πεsa1）

由此给出xrc=4a1。从而得到杂质原子之间的临界距离src和临界杂质浓度Nrc。

src=8a1和Nrc=1/（512a13）

除了只考虑了两个相邻原子之间的作用和氢点电荷模型固有的近似性之外，还要考虑一些附加的因素。这些因素会使实验测得的激活能逐步减小（而不是突然消失）以及实验测得的临界杂质浓度比理论估计的高。这些因素是：（1）电子在杂质能带中有比较大的有效质量和比较低的迁移率，所以使实验测得的N比从NDD—ND用理论计算所得的结果高；（2）杂质在空间是随机分布的，有些地方杂质原子之间的距离比平均距离远，该处仍然有孤立的束缚态，有些地方杂质原子之间的距离很近，以致形成带+2q电荷的杂质对，从而在该处形成比E1深的束缚态；（3）杂质原子的随机分布干扰了正常的晶格结构，这会造成新的束缚态，从而降低N0这第三个因素可能是最重要的。

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