杆系结构的静力分析

在已知静力荷载下杆系结构的内力和位移计算

杆系结构是用杆件相互联结而组成的几何不变体系，如多跨静定梁、连续梁、桁架、刚架、拱、悬索结构、网架结构和曲梁等均为杆系结构。杆系结构的静力分析是指在已知静力荷载下杆系结构的内力和位移计算。

分类介绍

杆系结构分为静定结构和超静定结构。凡是仅用静力平衡原理即可求出结构的全部内力和反力时，称结构为静定结构；否则为超静定结构。超静定结构可用力法、位移法或混合法等求解。在求得内力后，静定结构和超静定结构均可用位移计算公式或其他方法求得结构中任意指定点的位移。较复杂的超静定结构，由于其计算工作量很大,在20世纪30～50年代期间,曾发展了许多近似法、渐近法及实用的简化方法。这些方法在当时曾解决过许多工程结构的计算问题，也推动了结构力学的发展。但随着电子计算机的发展和普及，适合于计算机的矩阵力法、矩阵位移法及有限元法等已成为分析复杂问题的主要方法。

杆系结构还可分为平面结构和空间结构。当结构的全部杆件、支座及作用力均位于同一平面时，称结构为平面结构；否则即为空间结构。工程中的绝大多数结构都是空间结构。但在许多情况下往往可以引入一些适当的假定，把它们简化为平面结构，从而避免复杂的计算并取得精度符合工程要求的结果。在计算机发展后，习惯上常简化为平面结构的桁架和刚架（见框架）等，已逐步转向按空间结构计算。

多跨静定梁　通常的多跨静定梁由多个单跨静定梁相互支承或联结而成。各单跨静定梁可按其相互间的支承关系分为基本部分（图1a中的及）和附属部分（图1a中的）。表现这种相互关系的图1b，称为关系图。计算多跨静定梁的反力及内力时，都可根据静力平衡原理决定。计算时，按先附属部分后基本部分的顺序，逐层取隔离体来进行。

杆系结构的静力分析连续梁　连续梁(见梁、梁的基本理论)是超静定梁，其超静定次数等于除去单跨静定梁的支座后所余下的支承链杆的数目。连续梁因全梁连续不断，在荷载作用下其变形曲线平滑，用作桥梁时可减小车辆的冲击。又因中间支承处出现负弯矩，因而其最大弯矩值比相应的多跨简支梁小，用料较省。连续梁的解法很多，最初主要基于力法原理发展并形成了著名的三弯矩方程。在H.克罗斯提出力矩分配法之后，由于该法不必建立和求解线性方程组且特别适用于连续梁，因而成为连续梁的主要解法。此外，用迁移矩阵、差分方程等方法计算连续梁也很方便。对连续梁的静力计算,包括影响线的计算,也有现成的图表可供使用。

桁架　由若干只产生轴力的杆件用铰链联结成的几何不变的结构称为桁架。为使桁架杆件只产生轴力，桁架的计算常作以下假定：①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结；②每根杆件的轴线必须是直线；③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。④荷载均只作用于理想铰的几何中心。在此条件下所算得的各种应力称为主应力。实际上各种桁架结构不可能完全满足上述各假定，因而杆件将产生弯曲，由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应力称为次应力。钢桁架如设计得较合理，次应力一般不太大;钢筋混凝土或预应力混凝土桁架,由于其结点刚度大、杆件粗短，次应力的影响不能忽视。

静定平面桁架可先求出反力，然后用结点法或截面法求杆件内力。其中又分数解法和图解法。结点法每次截取一个结点为隔离体，可建立两个投影方程；只要适当选定求解次序，使每次求解时未知力不超过两个，即可求出全部杆件内力。截面法截取桁架的一部分为隔离体，可根据静力平衡方程求解；此法特别适合于求指定杆件内力。超静定桁架和空间桁架可通过矩阵法用计算机求解。

刚架　由若干杆件借刚结点联结成的结构称为刚架（图2a），多用钢筋混凝土或钢材建造，刚架结构多为空间刚架，但许多空间刚架可分解为平面刚架进行计算。刚架可分为静定刚架和超静定刚架，但工程中所应用的主要是超静定刚架。

杆系结构的静力分析平面刚架的杆件内力有弯矩、剪力及轴力（图2b）。静定刚架的计算原理基本上与静定梁的相同。超静定刚架可用基于位移法原理的力矩分配法及迭代法计算。典型的力法和位移法一般只用于求解简单刚架。在这些常用方法中，一般假定可忽略杆件轴向变形的影响，从而能减少未知数的数目而使计算简化，但对于由薄壁杆件所组成的刚架，杆件轴向变形的影响不应忽视。使用计算机计算时，常用矩阵位移法，此时，计及杆件轴向变形的影响及杆件为各种变截面形式均无特殊困难。

拱　主要受轴向压力作用，故常用抗压强而抗拉弱的材料建造。单跨拱可按所设置的铰的多少分为三铰拱、双铰拱及无铰拱等,单铰拱应用不多。三铰拱是静定结构，余者为超静定结构。拱在竖向荷载作用的反力如图3。

杆系结构的静力分析拱截面内弯矩的大小与拱轴线的形式有关。当拱的各截面内均无弯矩而只有轴力时，相应的轴线称为合理拱轴。合理拱轴的形式与荷载的分布规律有关。静定拱全跨受竖向均布荷载时其合理拱轴为抛物线，受径向均布荷载时则为圆弧线。全跨填料荷载按=+у分布时，合理轴线为悬链线（为拱顶载荷集度,у为填料容重,为自拱顶至各拱截面形心的竖向坐标）。超静定拱或承受活荷载的拱,都很难确定出严格意义下的合理拱轴,一般要求其可能产生的弯矩要尽可能小。

超静定拱常用力法计算，但因轴线为曲线且截面常沿轴线变化，因此在计算前先将拱轴分成若干段，并将各段视为等截面直杆，然后用总和法计算。在使用计算机时，可用矩阵力法或矩阵位移法，但也要将拱分段处理，否则需要用曲杆单元。此外,当拱的曲率较大时,还要注意应计及曲率的影响。

悬索结构　用只能承受拉力的悬索构件与其他承重构件组成的结构称为悬索结构，如通常用高强度钢材做悬索，它能承受很大的拉力而自重较小，因此悬索结构主要用于各种大跨度结构，如悬索桥、斜张桥、悬索屋盖等。悬索是只能受拉力的柔性构件，且强度高、断面小，因此悬索结构的整体刚度较小，在荷载作用下变形较大。

跨度较小或结构整体的刚度较大时，悬索结构可用通常的小变形理论，即线性理论求解。此时，悬索结构与普通的组合结构相当，一般可采用矩阵位移法或有限元法计算。但在跨度较大，悬索内拉力很大时，即使悬索本身仍处于线性变形阶段，也要考虑变形的影响。此时应采用挠度理论，即二阶理论进行计算。

对于双向正交网索结构还可以将索网视为薄膜，建立其平衡微分方程和变形协调方程，并假定一垂直变位曲面的形式，令由此导出的假想荷载与实际荷载尽量接近，即可求得满足边界条件的近似解。

交叉梁系和网架结构　布置在同一平面的两组或多组梁在交叉处相互联结而构成一个整体的结构称为交叉梁系；两组或多组桁架联结成的结构称为网架。交叉梁系常用做楼面系、桥面系或船舶甲板之骨架；网架结构主要用做大跨度屋盖。

这两种结构都是空间结构，且各组梁或桁架组成一个整体，共同作用，不宜分解为平面结构计算，因此常采用矩阵位移法按空间结构求解。对于交叉梁系，由于荷载为垂直于结构平面的竖向荷载，常可忽略杆件轴向变形及结点绕竖直轴的转角的影响,因此每个结点可只考虑3个自由度,即绕、轴的转角及挠度。对于网架结构，常用的一种近似解法是将组成网架的每一片桁架用一根相当的梁代替，从而将网架简化为一相应的交叉梁系。然后按交叉梁系计算，并以梁系的内力推算桁架上、下弦杆及腹杆内力。这种近似解法有时也能满足工程设计的要求。

曲梁　梁的轴线为曲线时称为曲梁。轴线及荷载均位于同一平面时称为平面曲梁，否则为空间曲梁。空间曲梁的力学特征与直梁有很大区别，如在荷载作用下空间曲梁通常产生弯曲和扭转变形，且两种变形相互耦联。扭转变形所引起的挠曲变形较大，一般不能忽略。

Β.З.符拉索夫为曲梁分析建立了基本微分方程。这些方程描述了曲梁单元体的荷载与变形的关系。分析时，可将作用于该单元体上的荷载分解为:沿单元体的3根相互正交的轴线作用的3个分布力和3个分布扭矩。由此建立的微分方程可用闭形法和傅里叶级数法求解，也可用差分法等其他近似解法。

若结构由几根曲梁和横梁组成，则可按交叉梁系处理。

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