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李普希茨条件

数学名词

李普希茨条件(Lipschitz condition)亦称赫尔德条件，限制函数增量变化大小的一种不等式形式的条件，若f是区间I上的函数，存在正的常数L和α(0<α≤1)，使得只要x1，x2∈I，就有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|α，则函数f称为在区间I上满足α阶李普希茨条件，或称为I上的α阶李普希茨函数，记为f∈Lipα(I)或f∈Λα(I)。对任意α(0<α≤1)，α阶李普希茨函数都是连续函数。特别地，属于Lip1的函数为绝对连续函数，因而除去一个勒贝格零测度集之外处处可微。一阶李普希茨条件是李普希茨(R.(O.S.).Lipschitz)于1864年研究傅里叶级数的收敛判别法时引进的。不少作者把一阶李普希茨条件称为李普希茨条件。1876年，他把它用于微分方程有惟一解问题的讨论。0<α<1的α阶李普希茨条件其实是赫尔德(O.L.Hölder)引进的，所以又称为α阶赫尔德条件。

基本介绍
1．设 为一函数，k为一正常数，若对于点 之邻域中的所有点x，都有
则称 在点 满足李普希茨条件。
2．设 为定义在 上的函数，k为一正常数， 若对于 中任意两点 ，都有
则称 在区间 上满足李普希茨条件。
若函数 在 上满足李普希茨条件，则该函数在 上必为绝对连续函数。换言之，绝对连续为李普希茨条件之必要条件，而李普希茨条件为绝对连续的充分条件。
若函数 在 上之任一点均有连续导数，则该函数在 上必满足李普希茨条件。换言之，有连续导数是李普希茨条件之充分条件，而满足李普希茨条件是有连续导数的必要条件。
3．设 为一函数，k为一正常数，若对于点 邻域中的所有点 ，都有
则称 在点 满足p次李普希茨条件。
4．设 为定义在 上的函数，k为一正常数， 若对于 上之任意两点 ，都有
则称该函数在 上满足p次李普希茨条件。
显然，1，2分别是3，4当p=1时的特例。
李普希茨(Lipschitz，1832-1903)是德国数学家，李普希茨条件是他在讨论微分方程
解的存在唯一性定理时所引入的。
相关定理
定理1 如果函数 在域G中对t连续，且对变量x满足李普希茨条件，则它必对 同时连续。 ·
例1 初值问题
试证明微分方程 的右端函数 不满足对x的李普希茨条件。
证明：如果 满足李普希茨条件，应有不等式
也即
这意味着在整个定义域中，应是有限的。 然而， 由于时，，因而这是不可能的。所以不满足李普希茨条件。也正因此， 由微分方程解的存在与唯一性定理可知，尽管右端对x连续，却并不能保证微分方程的解的唯一性。
现在，我们转而研究初值问题的解的存在与唯一性定理。
定理2 初值问题解的存在与唯一性定理 如果在某闭域上定义的函数对连续，且对x满足李普希茨条件，则在t轴上必有一个包含在内的区间，在其中，存在一个满足微分方程及初始条件的唯一解。
这里，重要的是指出以下各点：
(1) 如果在某闭域G中，上述微分方程的右端函数对具有有限的偏导数， 即，其中，N为某个常数，则在整个G域中李普希茨条件必可得到满足。
(2)实际上，满足李普希茨条件的函数比上述的还要宽广。例如，微分方程
的右端函数在处不存在偏导数，然而，如果看—下模值情况
显然，如取李普希茨常数就满足对x的李普希茨条件了。
(3)尽管满足李普希茨条件的函数相对讲比较宽广，实用上，为了方便，常把满足初值问题的解的存在与唯一牲定理的条件取得更窄些。常见的初值问题的存在与唯一性定理表述如下。
定理3 初值问题解的存在与唯一性定理的另一种表达 如果在包括初始点在内的某直角域中，函数和连续，则在中的某域里，必有一个满足初值问题的唯一解存在。
李普希茨连续映射
李普希茨连续映射(Lipschitz continuousmapping)是满足李普希茨条件的连续映射。
设有映射 ，若有正常数L，使得
则称 为李普希茨连续映射，其中正常数L称为李普希茨常数，(1)式表达的条件称为李普希茨条件。李普希茨连续映射必是一致连续映射。
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