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条件分布

数学术语

对于二维随机变量(X，Y)，可以考虑在其中一个随机变量取得(可能的)固定值的条件下，另一随机变量的概率分布，这样得到的X或Y的概率分布叫做条件概率分布，简称条件分布。

定义
二维随机向量 中， 与 的相互关系除了独立以外，还有相依关系，即随机变量的取值往往彼此是有影响的，这种关系用条件分布能更好地表达出来。
对于二维随机向量 ，所谓随机变量X的条件分布，就是在 的条件下X的分布函数。比如，记X为人的体重，Y为人的身高，则X与Y一般有相依关系，如果限定Y=172(cm)，在这个条件下体重X的分布显然与X的无条件分布有很大不同。
设给定二维随机向量 ，对任意 ，若 ,则
是一维分布函数，自然称它为条件 下， 的条件分布函数。
应用
离散随机向量的条件分布
条件分布列
如果二维离散随机向量 的联合分布列为
仿照条件概率的定义，我们很容易地给出离散随机向量的条件分布列。
定义1 对一切使得 的 ，称
为在给定 条件下X的条件分布列。
同理，对一切使得 的 ，称
为在给定 条件下Y的条件分布列。
条件分布函数
有了条件分布列，我们就可以定义离散随机向量的条件分布。
定义2 在给定 条件下X的条件分布函数为
在给定 条件下Y的条件分布函数为
连续随机向量的条件分布
条件分布函数与条件密度函数
设 为连续型随机向量，联合密度函数为 ，边际分布函数分别为。
定义3 对于一切 的 ，在给定 条件下，X的条件分布函数和条件密度函数分别为
同理对于一切 的x，在给定 条件下，Y的条件分布函数和条件密度函数分别为
连续场合的全概率公式与贝叶斯公式
有了条件分布密度函数的概率，可以顺便给出连续随机变量场合的全概率公式和贝叶斯公式。
全概率公式
贝叶斯公式
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