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条件极值

数学概念

条件极值是在某附加条件下的极值。作为在数学中被广泛应用的概念，无论是在数学中求解不等式，代数思想解决几何问题，还是在经济学中求效益最大化，工程项目的建设当中,对项目进度的管理 只要能在问题中抽象出此类模型。就能应用求条件极值的方法求解。

定义
通用定义
设函数f(x)与g1(x)，…，gm(x) (1≤m＜n)在开集G⊂R上给定。记D为G中满足限制条件gj(x)=0，j=1，…，m的点x之集。设x0∈D。若存在x0的某个邻域B(x0，δ)，使得当x∈B(x0，δ)，同时x∈D时有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则称x0点为函数f在限制条件gj(x)=0，j=1，…，m下的极大(小)值点。条件极大值点与条件极小值点统称为条件极值点。条件极大值点与条件极小值点的函数值即为函数f(x)在限制条件gj(x)下的条件极值。
数学辞海定义
泛函J在某附加条件下的极值.例如，泛函
函数y，z除满足固定边界条件
y(x0)=y0， y(x1)=y1， z(x0)=z0， z(x1)=z1
之外还满足一个附加条件
或
这种问题的极值称为条件极值.附加条件称为约束.不含导数的约束，如G(x，y，z)=0，称为有限约束或完整约束;含导数的约束，如G(x，y，z，y′，z′)=0，称为微分约束或非完整约束.
求解
Lagrange
求二元函数在约束条件=0下的可能极值点.可以先作拉格朗日函数
其中 λ为拉格朗日乘子对
分别对拉格朗日函数每个变量求偏导并令其值为0，解出得到的驻点就是函数(l)在条件(2)下可能的极值点.至于所求得的点是否为极值点，需要在实际问题中根据问题本身的性质来判定.这也是解决条件极值的通用方法.
代入法
对于约束条件比较简单的条件极值，还可以使用代入法将其化为无条件极值.即从前述条件(2)中解出或x一x伽)，然后将其代入函数(1)，原问题即可化为一元函数的极值问题.
柯西不等式法
柯西不等式是由大数学家柯西《}audry研究数学分析中的“流数，’问题时得到的一个非常重要的不等式，某些函数的极值、最值可以转化为柯西不等式的形式求解柯西不等式:对于任意的实数,,,和,,,总有
简述为‘‘积和方不大于方和积”;a; ER, b; ER，当且仅当实数,,,和,,,对应成比例时，等号成立[l }l由此，得到两个重要结论:
(1)若则
(2)若则(其中,i=1,2n)
运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配.凑n可西不等式的左边或右边的形式，最终求得极大值或极小值。
其他方法
均值不等式法、梯度法、图像法、三角代换法，构造二次型等。最通用的还是拉格朗日乘数法，其他一些方法通常需要对应原函数的不同形式可以更方便的求解。
例题
例1
(成本最小问题)某公司的两个工厂生产同样的产品，但所需成本不同，第一个工厂生产x单位产品和第二个工厂生产Y单位产品时的总成本是
若公司的生产任务是500个单位产品，问如何分配任务才能使总成本为最小?
解法1
该问题是求函数在条件下的极值.作拉格朗日函数
分别对该拉格朗日函数的所有自变量x,y,λ求偏导，并令其值均为0，解得可能的极值点是(125,375).根据问题的实际性质，该点就是要求的最小值点.也就是说，当第一个工厂生产125单位产品、第二个工厂生产375单位
产品时总成本最小。
解法2
解法2由解出，并代入目标函数中，可得总成本
对总成本函数求导，并令其一阶导数等于0，可得唯一驻点x=125，.由于。在该点的二阶导数小于0，知该驻点是极大值点，所以也一定是最大值点.比较c(0),c(125),c (500)，可得所求最小值点x = 500.即第一个工厂生产500单位产品时总成本最小。
例2
已知求出的最值 解:首先将
变形为
再设
,
于是，根据柯西不等式(1)及已知条件，有
即
当且仅当
时，等号成立;
即当k=1;x=4;y=-3;z=5时;k=-1,x=0,y=1,z=3时
所以
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