杨武之

数学家、数学教育家

杨武之（1896年4月14日—1973年5月12日），本名克纯，号武之，籍贯安徽凤阳，1896年4月14日出生于安徽合肥，数学家、数学教育家。长期在清华大学和西南联合大学数学系任系主任或代主任。是我国早期从事现代数论和代数学教学与研究的学者，诺贝尔奖获得者杨振宁的父亲。杨武之的主要学术贡献是数论研究，尤其以华林（Waring）问题的工作著称。杨武之一生从事数学教育，特别是在清华大学和西南联合大学执教并主持系务时期，培养和造就了两代数学人才，对中国现代数学的贡献很大。

人物生平

大事年表

杨武之，安徽凤阳人。

1896年4月14日出生于安徽合肥（今属肥西县）。

1914年毕业于安徽省立第二中学。

1914—1918年毕业于北京高等师范学校预科和数学系本科。

1918—1922年任安徽省立第二中学及安徽省安庆中学教师。

1923—1928年赴美国留学，在芝加哥大学获硕士和博士学位。

1928—1929年任厦门大学教授。

1929—1937年任清华大学教授。

1937—1946年任西南联合大学教授。

1946—1949年任清华大学教授。

1950—1952年任同济大学教授。

1950—1973年任上海复旦大学教授。

1973年5月12日在上海逝世。

青少年

杨武之的父亲杨邦盛，是清末的一名秀才，早年一直在私塾教书。后来去天津，在段芝贵的幕府中司“笔札”，做类似文书之类的事。1907年，因段芝贵失势，回家赋闲。次年，想到沈阳去谋职，不幸在旅社中染上鼠疫，竟而去世。杨武之的母亲姓王，在他9岁时（1905）也早故。所以，杨邦盛夫妇对杨武之的照料不多，生活多由叔父杨邦瑞安排。

1914年，杨武之在安徽省立第二中学毕业。这是一所很好的学校，为杨武之打下了良好的文化基础。是年秋，考入北京高等师范学校预科，为期一年，后入数理部本科。规定修业3年，于1918年毕业。这一学历，在当时的师范教育中属于最高的层次，各地争相聘用。最后，杨武之决心回到母校——安徽省立二中担任教员兼舍监（训育主任）。年少气盛的杨武之，在学校里施行严格的纪律，对一批纨绔子弟严加管束。学校规定，夜晚10时，关闭校门，使一批在外寻欢作乐而迟归的学生，不得其门而入。由此，一些不思上进的学生，对舍监杨武之大为不满，以至寻衅闹事，准备动武报复。闹事之后，因学生家长袒护闹事学生，企图不了了之。杨武之遂愤而辞职，转往安庆中学教书。这一事件对他刺激颇深，觉得一介书生，难以和腐败的政府及土豪劣绅相周旋。杨武之因此萌生“科学救国”的意念，希望以出国留学，振兴中华科学，发扬中华文明来改变中国的黑暗现实。在安庆教书期间，积极准备参加留学考试。杨武之由父母作主，在幼年时即和同乡罗竹全之女罗孟华订亲，并于1919年完婚。罗孟华的文化不高，一直操持家务。他们夫妇之间感情甚笃，终身不渝。1922年，长子杨振宁出生。杨武之的备考也到了紧张阶段。

学业有成

1923年春，杨武之顺利地通过安徽省的公费出国留学考试。随即离别妻子和未满周岁的儿子，只身赴美国留学。他先到美国西部的斯坦福大学读了三个学季的大学课程，取得学士学位。然后于1924年秋天转往芝加哥大学继续攻读。杨武之师从名家L.E.迪克森（Dickson），研究代数学和数论。1926年以《双线性型的不变量》一文获得硕士学位。两年之后，又以《华林问题的各种推广》，使杨武之成为中国因数论研究而成为博士的第一人。

1928年秋，杨武之学成归国，先在厦门大学任教一年，次年即被清华大学聘为数学系教授。此后，杨武之一直在清华大学（包括抗战时期的西南联合大学）任教，直到解放。1950年之后，留在上海复旦大学任数学教授。

杨武之于1948年底，搭机从北平返回南京，转赴昆明接家眷到上海，迎接解放。1950年清华大学没有续聘杨武之，他遂留在上海，任同济大学数学系教授。1952年开始在复旦大学任教。1950年代，他还在复旦大学讲过几门课，以后因患糖尿病，休养在家。

1957年，杨武之的长子杨振宁荣获诺贝尔物理学奖，使杨武之十分兴奋。他曾于1957、1960和1964年三度去日内瓦小住，与杨振宁欢聚，也会见了在海外的故友和学生，如陈省身等。这几次聚会，使杨振宁对新中国多了一些了解，直接影响他于1971年夏决定回大陆探亲，杨振宁遂成为最早访问中华人民共和国的海外知名学者之一。

晚年

杨武之晚年身体很差，很少出门。他喜爱传统文化，尤精围棋。

1973年5月12日，杨武之在上海逝世。

数论研究

博士论文：推进“棱锥数的华林问题”

中国的数论研究源远流长。孙子定理，中国剩余定理，秦九韶的不定方程理论，都是享誉世界的名篇。但到明清之际，数论研究已远远落后于欧洲，到本世纪20年代，能研究现代的数论而发表创造性论文的中国人，当以杨武之为第一人。

所谓华林问题，是指下列猜想：每个正整数都是4个平方数之和，9个立方数之和，一般地，g（k）个k次方数之和。1770年，J.-L.拉格朗日（Lagrange）证明了每个正整数确实是4个平方数之和，即g（2）=4。1909年，大数学家D.希尔伯特（Hilbert）证明：g（k）必是有限数。1928年，杨武之的导师狄克逊证得：g（3）=9。另外，S.W.贝尔（Baer）证明，凡大于23×1014的整数是8个立方数之和。于是狄克逊要杨武之考虑带系数的华林问题，即每个正整数f可否表示为f=rx3+C7，其中C7=x31+x32+…+x37，r=0，1，2，…，8。杨武之很快得到下述结果：

1.凡是大于14.1×4016的正整数都可表示为rx3+C7，其中r=5，7。

2.凡大于（30.1）×4196的正整数都可表示为3x3+C7。

3.凡大于23×1014的正整数都可表为8×c3+C7。

4.凡大于23×1014的奇正整数都可表示为rx3+C7，其中r=2，4，6。

5.凡大于23×1014的奇正整数的两倍，都可表为2x3+7。

杨武之的博士论文还讨论了带系数的7次方数的表示等问题。

杨武之最好的工作是关于棱锥数的华林问题。棱锥数p（n）=1/6（n3-n）是三角形数f（n）=n/2（n+1）的推广。1640年，费马（Fermat）猜测每个正整数都是不超过3个三角形数之和。后来证明这是对的。至于每个正整数能表示为几个棱锥数之和，也陆续有人研究。1896年，W.J.马耶（Maillet）首先得到，每个充分大的正整数是12个棱锥数之和。1928年，杨武之在博士论文里证明：

每个正整数都可写成9个棱锥数之和。此结果在20余年内没有改进，直至G.N.沃森（Watson）在1952年将“9个”减为“8个”。到1991年为止，这仍是已证明了的最好结果。

电子计算机出现之后，许多人曾作过实际验算，认为除241个例外数之外，小于106的正整数都是5个棱锥数之和。1991年，杨振宁和邓越凡等人的计算表明，凡小于109的正整数，除了17，27，…，343867等241个例外数之外，都是4个棱锥数之和。他们猜想，除这241个数之外，表示任何正整数，只要4个棱锥数就够了。

杨武之的这篇博士论文，首先在美国数学会的会议上作了介绍（1928年4月6日）。同年美国数学会通报第34卷，第412页上曾对此作了报道。以后全文发表于1931年的《清华理科报告》。

主要作品

1 Yang Ko-Chuen，The invariants of billinear forms，a dissertation for thedegree of Master of Science，Chicago，1926

2 Yang Ko-Chuen，Various generalization of Waring，s problem，Chicago，1928（Thesis，Chicago，1928）

3 K.C.Yang，Representation of Positive integer by Pyramidal numbers，Science Report of Tsing Hua Univ.，1931，A1：9—15

4 K.c.Yang，Quadratic field with out Euclid’s algorithm，Science Report of the Tsing Hua Univ，1935，A1：261-264

5 杨武之，关于同余式的一个定理，清华学报，1935，6（2）：107

社会影响

1928年，清华留美预备学校改制为清华大学。郑之蕃、熊庆来先期来清华大学任教。1928年和1929年，孙光远与杨武之亦先后到校。这4位教授，加上唐培经、周鸿经两位教员，阵容极一时之盛。1930年，陈省身跟孙光远学几何。次年，华罗庚又来校跟杨武之研习数论。随后的学生又有许宝騄、柯召等人的到来。30年代的上半期，清华大学已成为国内最强的数学中心。

杨武之在清华大学讲授过很多代数课程，特别是30年代初开设的群论课，影响了大批的后学者。

抗战以后，清华大学与北京大学、南开大学并为西南联合大学。杨武之又担任数学系的系主任，以及清华大学数学研究生部的主任。战时的生活十分艰苦，但是西南联合大学数学系的学术生活并不贫乏，科学水平节节上升，这和杨武之的组织与领导是分不开的。

人物轶事

杨武之与华罗庚

华罗庚自学成才，踏进清华园的传奇故事已是尽人皆知，但是究竟清华园内的数学圈内怎样发现华罗庚的细节，如今已很难查考。应该说，唐培经、杨武之、熊庆来等先生都为华罗庚来清华大学作出过努力，而系主任熊庆来的支持，则是关键的一着。

华罗庚来到清华大学以后，选择数论为研究方向，而且集中研究华林问题，显然是受到杨武之的直接影响。华罗庚在1980年写给香港《广角镜》周刊的一封信说：“引我走上数论道路的是杨武之教授。”

华罗庚于1936年赴英国，追随G.H.哈代（Hardy）学习解析数论，成绩卓著。杨武之为自己的学生超过自己而高兴非凡。1938年华罗庚回国后到西南联合大学任教。当时担任系主任的杨武之，不顾学校里的各种反对意见，向校方提出破格提升华罗庚的职务，即越过讲师、副教授直升正教授。起初校方以华罗庚未在英国拿博士学位而拒绝，后经杨武之力争，最终才得到同意。所以，华罗庚在上述给《广角镜》的信中也写道：“从英国回国，未经讲师、副教授，直接提我为正教授的又是杨武之教授。”

在西南联合大学时期，杨武之和华罗庚曾同住于昆明西北郊的大塘子村。两家过往很密。当年，华罗庚曾有一信给杨武之，内称：“古人云：生我者父母，知我者鲍叔。我之鲍叔即杨师也。”

杨武之所师法的迪克森学派，在本世纪初的美国影响很大。后来由于英国、苏联等国的解析数论的兴起而渐渐式微。所以，杨武之的数论研究虽曾起过启蒙和推动的作用，可惜由于迪克森学派的衰落而未能发挥重大影响。中国数论学派，在华罗庚的领导下，获得了重大的发展。饮水思源，人们将会缅怀杨武之在早期所发挥的前驱作用。

杨武之与杨振宁

杨武之是杨振宁除了物理系直接教他的这些教授们外，对他的影响相当大的一个人。杨武之是一位将近世代数和数论、将西方现代数学方法引入中国的我国现代数学的先驱者之一，也是一位为我国数字教育作出重要贡献的数学家。杨武之是一位教学极为认真的教授，也是一位教子极为严格的父亲。他早就在日常生活中，循循善诱，潜移默化地将不少数学知识传授给了儿女们。杨振宁在学校里，遇有不懂的问题、碰上难以处理的事，总是经常跑到数学系办公室向父亲请教。杨振宁后来说：“父亲对我们子女们的影响很大。从我自己来讲：我小时候受到他的影响而早年对数学发生浓厚的兴趣，这对我后来搞物理学工作有决定性的影响。”杨武之对杨振宁的影响，一直长久地发生着和存在着。

【新华网】杨振宁、姚期智放弃外国国籍转为中科院院士。杨振宁院士20世纪五六十年代先后创立“杨-米尔斯规范场”论和提出“杨-巴克斯特方程”，因与李政道共同提出弱相互作用中宇称不守恒原理而获1957年诺贝尔物理学奖。

当一个94岁高龄的老人选择了放弃美国国籍，加入中国国籍的时候，杨振宁的行为是个人私事，是因为回归国籍，是他父亲一辈子的愿望。他父亲杨武之，上世纪20年代在芝加哥大学获得博士学位，是中国早期的数学家、教育家，同时也是一位坚定的爱国者。这一代中国知识分子，有着浓烈的家国情怀，他们盼望着国家强大，民族富有，全身心投入的，都是民族的复兴。

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