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极值点

函数子区间极值横坐标

若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）

定义
设函数在区间有定义，，若， 有 （或），则称是函数的一个极大值（或极小值）， 是函数的一个极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点。上面的不等号若严格成立，则称为严格极值点，对应函数值称为严格极值。
注意：
（1）极值点只关心在 内的局部函数值，不关心是否可导。因此函数在极值点处可能不可导，如 在 处不可导。
（2）极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。
（3）极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
（4）可导函数的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如,点是它的驻点，却不是它的极值点。
（5）极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。
定理
若函数在处可导，且是函数的极值点，则
注：若去掉“函数在处可导”的条件，则函数的极值点处不一定有，如；此外，若，则不一定是极值点，如在处，有，但不是的极值点。
判别方法
（1）若函数可导
【第一判别法】若函数可导，，且，有（或）同时，有（或），则是函数的极大点（或极小点）
【第二判别法】若函数存在二阶导数，是函数的稳定点，即，而，则当时，是函数的极小点；当时，是函数的极大点。
（2）若函数在一些点不可导，则需要用定义判断。
计算方法
（1）单变量函数的极值求法
a. 求导数;
b. 求方程的根；
c. 检查在函数图象左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值。
特别注意：无意义的点也要讨论，即可先求出的根和无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。 例如： 在的导数是不存在的。
（2）二阶连续偏导数的函数的极值求法，叙述如下：
a. 解方程组，，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
b. 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值；
c. 定出的符号，判定是否是极值，是极大值还是极小值。
注意：当函数仅在区域D内的某些孤立点不可导时，这些点不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。
极值点与稳定点
方程的解，即称为函数的稳定点
注：定义不要求函数可导，所以可导函数的极值点必须是稳定点，但稳定点不一定是极值点。
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