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极化恒等式

用范数表示内积的公式

极化恒等式(polarization identity)是联系内积与范数的一个重要的等式，是用范数表示内积的公式。设H是内积空间，‖·‖是由内积(·，·)导出的范数，下列等式常被称为极化恒等式：当H是实空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2)；当H是复空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2)。对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x，y)也分别有类似于上述的恒等式。

定义
当是内积空间，是由内积所导出的范数时，内积也可以用范数来表达。当是实内积空间时
当是复内积空间时
这两个等式可以直接从内积的定义导出。等式(1)和(2)称为极化恒等式。
相关定理
Aldaz(2009)给出了如下有意义的结果。
定理1
设是复内积空间，对任意非零向量，有
特别地，当是实内积空间时，
证明： 由极化恒等式(2)得到
以分别代替和，并展开右端第一项即可得到式(3)和式(4)，式(5)的证明是类似的。证毕。
在定理1条件下，成立恒等关系
定理2
设是复内积空间，对任意非零向量，有
证明：不妨假设是单位向量，由式(3)知，
等号成立当且仅当存在使得，证毕。
由式(6)容易得到GBS不等式。
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