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极大元

偏序集中的特殊元素

极大元（maximal element）是偏序集中的一种特殊元素，指偏序集中没有比它更大的可比较的元素。与此相关的概念还有，极小元：指偏序集中没有与它可比较的更小的元素；最小元：指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素；最大元：指偏序集的子集中不小于一切的元素。

简介
偏序集中的一种特殊元素，指偏序集中没有比它更大的可比较的元素。设是偏序集， ，若不存在 ，使得 bRx 且x≠b，则b称为的极大元。对给定的可以有一个或多个极大元，也可以没有极大元。若a与b是的两个不同的极大元，则 且。当B为有限集时，一定有极大元。
相关概念
极小元
偏序集中的一种特殊元素，指偏序集中没有与它可比较的更小的元素。设是偏序集，，若不存在，使得 xRb 且 x≠b，则b称为的极小元。对给定的可以有一个或多个极小元，也可以没有极小元。若a与b是的两个不同的极小元，则且。当B为有限集时，一定有极小元。
最小元
一种特殊元素，指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素。令是偏序集，，如果对每一个都有bRx，则称b是的最小元。对给定的不一定有最小元，若有最小元，则是惟一的。的最小元称为零元素，记为0。的最小元是的最大元；反之亦真。最小元是惟一的极小元。
最大元
一种特殊元素，指偏序集的子集中不小于一切元素的元素。令是偏序集，，如果对每一个都有xRb，则称b是的最大元。对给定的不一定有最大元，若有最大元，则是惟一的。的最大元称为单位元，记为1。的最大元是的最小元；反之亦真。最大元是惟一的极大元。
区分
设偏序集，B含于A；
①若y∈B满足任取x∈B，y≤x→x=y，则称y为B的极大元；(箭头表示“蕴含”)
②若y∈B满足任取x∈B，x≤y，则称y为B的最大元；
易得最大元必是极大元，但极大元不一定是最大元，应注意极大元和最大元的区别。 最大元是B中最大的元素，它与B中其它元素都可比；而极大元不一定与B中其它元素都可比，只要没有比它大的元素，它就是极大元。对于有穷集合B，极大元一定存在，但最大元不一定存在。最大元如果存在一定是唯一的，但极大元可能有多个。
请注意极小元和最小元的区别。最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中其它元素都可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。对于有穷集合B极小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在一定是唯一的，但极小元可能有多个。
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