在微积分学科中，极限通常是指在某个过程下，例如一个函数（或数列）在自变量（或指标）趋近于某个值（允许是无穷 ）时，函数（或数列）的行为。更一般的，在代数中，极限的概念由可以由范畴论进行推广。
极限的历史溯源
（1）由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，中国古代刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用：古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”， 他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法一反证法来完成有关的证明。到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了反证法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
（2）极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围， 而寻找能描述和研究运动和变化过程的新数学工具，这是促进数学中极限概念的发展并建立微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用“路程的改变量△S”与“时间的改变量△t”之比 表示运动物体的平均速度，让 无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当 无限增大时，
无限地接近于常数A，那么就说 以A为极限。正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们对于科学理论的怀疑与攻击，例如，在物理学的“瞬时速度”概念，究竞 （变化量）是否等于零？如果说是零，（因为真理如果被无限扩大其适用范围也会变为错误）：怎么能用它去作除法呢？（其实变化量不可能为0）。但是人们认为，如果它不是零，计算机和函数变形时又怎么能把包含着它的那些“微小的量”项去掉呢？当时人们不理解，想完全没有一点点误差地进行变量的计算而导致人们认为发生悼论，这就是数学史上所说的无穷小性论产生的原因。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。科学发展的历史和成功表明他的观点是错的。以克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏严格的理论基础，连生顿也无法摆脱“极限概念’中的混乱。
（3）极限思想的完善以及微积分的严格化。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思考和分析问题。对“变量”特有的概念理解还不十分清楚：对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学’的新发展。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，其描述的内涵接近于‘极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。
首先用极限概念给出‘导数’的正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数 的导数定义为差商 的极限 ，他强调指出 不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于‘极限的本质”他仍未描述清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了“极限概念”及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”柯西把无穷小视为“以0为极限的变
量”，这就正确地确立了“无穷小”概念为“似零不是零却可以人为用等于0处理”的办法，这就是说，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于零，但它变化的趋向是向“零”，可以无限地接近于零。那么人们就可以用“等于0”来处理，是不会产生错误结果的。柯西试图消除极限概念的定义中对几何直观的依赖。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小” 等。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ，就是指：“如果对任何 ，总存在自然数 ，使得当 时，不等式 恒成立”。在该定义中，涉及到的仅仅是‘数及其大小关系’，此外只是用给定、存在、任何等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。常量可理解为‘不变化的量’。微积分问世以前，人们习惯于用静态图像研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，考虑‘变化量’的运动思维方式进入了数学领域。
定义
数列的极限
设数列 ，称为该数列的极限，如果对于任意，都存在，使得对于任意 ，都有 我们称数列趋于A或者收敛到A，并记做：
反之，如果一个数列没有极限，则称数列发散。
特别地，如果对于任意 M> 0 ，都存在，使得对于任意都有 ，我们称数列趋于正无穷，记做：。如果对于任意 ，都存在，使得对于任意，都有 ，我们称数列趋于负无穷，记做：
函数的极限
记 ，设 (表示E的闭包)， 如果对于任意存在一个数，使得对于满足 的任何，关系成立，我们就称当趋于时，函数趋于A，或者说A是在趋于时的极限。并记做：
类似地，如果对于任意，存在数，使得对于满足 的任何 ，关系成立，我们就称当趋于无穷时，函数趋于A,或者说A是在趋于无穷时的极限。并记做：.
如果这样的A不存在，则称在(或无穷)处的极限不存在。
一般地，我们可以允许 ， n为任意正整数，定义不变。函数在 处的极限刻画了函数的连续性。
更加一般地，我们可以令E为任意拓扑空间X，仍然可以定义极限的概念。首先我们定义滤子基：设集合X的某些子集组成的集族B称为集合X中的滤子基，如果它满足以下条件：
1.对于任意
2.对于任意，存在
设B为拓扑空间X的一个滤子基。设 如果对于任何的任何邻域 ，都存在 ，使得 ，就说A是函数关于基B的极限，并记做：
极限的性质
数列极限的性质
极限过程与算术运算
定理1 (运算性质).设是数列，如果那么
1.
2.
3. ，如果 且
极限过程与不等式
定理 2 (不等式性质). 1.设是数列，且 如果，则存在，使得对于任意，不等式 成立。
2.（
夹逼定理）(夹逼定理) 设 是这样的三个数列: 存在 , 使得对于任意 。如果 收敛于同一极限, 那么 也收敛于这个极限。
数列敛散性的判定
定理 3(数列收敛的柯西准则)数列 收敛的充要条件是它是基本列（或柯西列）,即对于任意 , 存在 , 使得对于任意 n, m>N , 都有 .
定理4(魏尔斯特拉斯)不降（增）数列有极限的充要条件是它有上（下）界。定义数列的两种部分极限：
上极限: ,
下极限:
定理 5. 1.数列有极限或趋于正无穷或趋于正无穷, 当且仅当其上、下极限重合: 2.数列收敛当且仅当它的每个子列收敛。
3.3函数极限的性质
与数列的极限类似，我们有如下性质。
极限过渡与算术运算
定理6(函数极限的运算性质).设与是由公共定义域的两个函数，如果 ，那么
1.
2.
3.
极限过渡与不等式
定理7．
1. 设 与 , 如果 , 那么必存在 a 在 E 中的去心邻域 U，满足对于任意
2. 在E上定义的三个函数 满足 那么 .
定理 8(单调函数极限存在的准则) 集合 E 上的不降函数, 当 时有极限的充要条件是它有上界: 当 时有极限的充要条件是它有下界。
函数的极限还有很多应用，例如比较函数的渐进行为等，这在其他学科中非常实用。
代数视角下的极限
代数中的极限可以借助范畴论的语言来推广。
令工.C为范畴，考虑函子 和和 是两种逗号范畴 .
的正向极限可以理解为资料 ，并且对于任意 满足泛性质图解:
其中是满足交换图的任一对象。由此可见正向极限如果存在则唯一。
正向极限也被称作归纳极限，余极限（colimit）
的反向极限可以理解为资料，并且对于任意 满足泛性质图解：
其中 是满足交换图的任一对象。由此可见反向极限如果存在则唯一.反向极限也被称作投射极限, 极限 (limit).