析因试验

考察某些条件（因子）对目标变量影响的试验或实验

析因试验是考察某些条件(因子)对目标变量影响的试验或实验。设X是需通过试验考察的经济量或物理量——目标变量。在影响X的条件下，有可以控制的因素，还有大量无法控制的随机因素。所要考察的影响目标变量且可以控制的条件，称做因子或因素；因子的状态、等级或数值，称做因子水平。析因试验，把各因子分别控制在若干不同水平上，而使其余可以控制的条件保持不变，并对各种不同的因子水平组合(配方)分别进行试验。只有一个因子的析因试验，称做单因子试验；有两个或两个以上因子的试验，称做“多因子试验”。考察r个因子每个因子各取m个水平的析因试验，简称为“mr型试验”；这样试验的r个因子的每一种水平组合称做“一个试验点”；mr型试验共有mr个试验点；将mr个试验都实施的析因试验称做“全面试验”，否则称做“部分试验”。方差分析法是分析多因子析因试验最重要的统计方法。

基本介绍

析因试验是一种多因素的交叉分组试验。它不仅可检验每个因素各水平间的差异，而且可检验各因素间的交互作用。两个或多个因素间如存在交互作用，表示各因素不是各自独立的，而是一个因素的水平有改变时，另一个或几个因素的效应也相应有所改变;反之，如不存在交互作用，表示各因素具有独立性，一个因素的水平有所改变时不影响其他因素的效应。下面介绍最简单的两因素析因试验(以“2×2”为例)和较复杂的四因素析因试验(以“2×2×3×2”为例)的设计及其分析方法。

2×2析因试验

2×2设计表示有两个因素，每个因素各有两个水平，共有四个组合。如以A1表示A因素1水平，A2表示A因素2水平，B1表示B因素1水平，B2表示B因素2水平，各因素的水平之间逐个组合，即成2×2设计，其模型如下：

2×2析因分析时，首先应对4个组合的试验结果作方差齐性检验，如已满足齐性要求，即可进行方差分析。方法如下：

(1)作检验假设。有两种：一是A因素或B因素的各水平间的比较，H0为A因素或B因素两水平的总体均数相等，即μ1=μ2;二是分析A、B两因素的交互作用，H0为两因素间无交互作用，即彼此独立。

(2)将总变异的离均差平方和SS及自由度v按变异来源分为A因素、B因素、交互作用A×B及误差四部分。SSA和SSB的计算公式见条目“单因素多个样本均数比较”。A、B两因素交互作用的离均差平方和SSA×B的计算需先列副表，再用式(1)及式(2)。

式中SST(AB)为A、B两因素副表总变异的离均差平方和;XA1B1为A因素1水平与B因素1水平组合的样本观察值，余类推;n为分子中每个合计所包含的例数，C'为校正数(C'区别于因素C)。自由度v的计算：总变异v=总例数-1，某因素v=该因素的水平数-1，交互作用v=有关因素的自由度之积，2×2析因分析中v均为1。

(3)分别计算各因素及交互作用的均方MS(=SS/v)，并与误差的均方相比得F值。

(4)查F界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。

2×2×3×2析因试验

2×2×3×2设计，表示有四个因素，各因素依次有2、2、3、2个水平，共有2×2×3×2=24个组合。如以ABCD表示四个因素，A1、A2表示A因素的两个水平，同样，B1、B2，C1，、C2、C3，D1、D2分别表示B、C、D因素的各个水平，则2×2×3×2设计的模型如下：

按此模型安排24个组合的试验，每个试验可根据试验条件和具体要求规定重复次数，一般所取次数较少。对试验结果应先作方差齐性检验，然后再作方差分析(参照2×2析因分析加以扩展)：

单因素组间比较： A，B，C，D;

一级交互作用： A×B，A×C，A×D，B×C，B×D，C×D;

二级交互作用： A×B×C，A×B×D，A×C×D，B×C×D;

三级交互作用： A×B×C×D。

总共15次检验，目的在于得出各因素的最佳水平及其组合。

析因试验能够分析多种交互作用，以获得丰富的结论，但当因素过多，因素中包括的水平又划分过细时，将使交互作用的内容头绪繁多，不但计算不便，而且对它们的具体解释亦十分错综复杂。故除非必须同时对某些因素进行研究外，一般宜采用较简单的析因试验。

析因试验设计

析因试验设计是指任意r(r≥1)个因子，每个因子取任意给定数目mi(i=1，2，…，r)水平的试验的设计，分为全面析因试验设计和部分实施析因试验设计两大类，其中因子的水平是可以控制的或者随机选取的。每个因子各取一个水平，r个水平构成一个水平组合，总共有n=m1×…×mr个不同的水平组合 (亦称试验点或处理方法)。对每一水平组合至少进行一次试验(对一个单元进行试验)的设计，称做全面设计，其优点是能考察全部主因子效应和全部交互效应，其缺点是工作最大甚至无法实施，结果也难以控制。1946年芬尼(D.J.Finney)提出了部分实验法，即只挑选一部分有代表性的水平组合进行试验的方法，其实质是忽略全部或大部不显著交互效应(如，忽略全部三阶及三阶以上交互效应)，正交拉丁方和正交表就是部分实施的重要工具。

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