柯西中值定理

数学定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

人物简介

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。

定理定义

柯西（Cauchy）中值定理：设函数满足

⑴在闭区间上连续；

⑵在开区间内可导；

⑶对任意，，

那么在内至少有一点，使得成立

与拉氏定理的联系

在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。

因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

证明

可构造辅助函数，在上连续，在内可导，且有。

由罗尔定理可知，存在，使得，即，又，所以有

几何意义

若令，这个形式可理解为参数方程，而则是连接参数曲线两端点弦的斜率，表示曲线上某点处切线的斜率，在定理的条件下，结论可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。

应用例子

泰勒公式

柯西中值定理最主要的应用是证明带有拉格朗日余项的阶泰勒公式，只要反复使用柯西中值定理多次就能证明，下面以为例说明。

例1设在内二次可微，证明：任意的，在之间存在，使

这就是函数在点邻域内的一阶泰勒公式。

证明令，

利用，，，。在两次应用到柯西中值定理后可以得到：

命题得证。

洛必达法则

柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。

洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。

我们得出下面这个定理（洛必达法则）：

⑴两个函数和在开区间可微，并且在这个开区间上，的导数不等于0；

⑵存在极限（或），其中A为一个有限的常数。则在以下情况下：（或者和）。那么就有：（或）。在区间的另一个端点也存在相类似的结果。这个定理就称之为洛必达法则，能有效地应用于待定型的极限计算。

不等式

柯西中值定理在不等式的证明也有广泛应用，关键是f(x)和g(x)要选得恰当。

例3试证明当时，（引用文内原题，解法重新作出）。

证明设，

则在区间上满足柯西中值定理条件，所以存在，使，即

结论得证。

中值点

中值点的存在性的证明是柯西中值定理最典型的应用之一。

例4设，函数在区间上连续，在内可导，则存在，使得。

证明设，，显然在上满足柯西中值定理的条件，于是存在，使得

即存在，使得，即可得结论。

定理求极限

柯西(Cauchy) 中值定理是微分中值定理的三大定理之一，它比罗尔(Rolle) 定理与拉格朗日(Lagrange) 中值定理更具一般性，也具有更广泛的应用性，但大多高等数学的教材中仅介绍了柯西中值定理及其证明，对该定理的应用涉及较少，不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。下面介绍一下利用柯西中值定理在求极限中的应用。

例：求极限，其中x>0.

解：1当x=1时，，故；

2当时，令，，则f(x)与g(x)在[1,x](x>0)上满足柯西中值定理的条件，故存在，使得，即，故，从而，故，又因为，所以，所以。综合1、2，得：

说明：柯西中值定理常用来求含形式的极限问题。

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