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柯西分布

数学术语

柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布。当随机变量X满足它的概率密度函数时，称X服从柯西分布。

定义
柯西分布也叫作柯西一洛伦兹分布，它是以奥古斯丁-路易-柯西与亨德里克-洛伦兹名字命名的连续概率分布，如概述图所示。其概率密度函数为
式中： 为定义分布峰值位置的位置参数； 为最大值一半处的一半宽度的尺度参数。
作为概率分布，通常称为柯西分布，物理学家也将之称为洛伦兹分布或者Breit-Wigner分布。在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其他机制加宽的谱线形状。记随机变量 服从柯西分布为 。 的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为
其对应的累积分布函数为
柯西分布的特点
柯西分布具有如下特点：
(1)数学期望不存在，即
(2)方差不存在。
(3)高阶矩均不存在。
(4)柯西分布具有可加性，即
设独立同分布，且，则.
(5)柯西分布具有倒数性质，即：
设，则
(6)柯西分布与正态分布：
设独立，且都服从，则
(7)柯西分布与均匀分布：
设，则
(8)柯西分布与分布：
设服从标准柯西分布即时，则正好是自由度为1的分布。
而对于实随机变量，如果其概率密度函数为
则定义服从参数为的广义柯西分布。参数是大于0.5的实数，是归一化常数。
广义柯西分布的性质
可以证明广义柯西分布具有以下性质：
(1)广义柯西分布不存在一阶矩；当时，广义柯西分布不存在二阶矩。
(2)当m=1时，广义柯西分布即是常规定义下的柯西分布。对比柯西分布可知，
(3)广义柯西分布不同于下列分布，即
但当m为整数时两者相等。
(4)在所有的分布中，广义柯西分布具有最大的散布特性，即广义柯西分布具有最大的拖尾概率。
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