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柯西积分公式

数学术语

柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值由边界C上的值表示。这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而是研究解析函数的有力工具。

定义及证明
设 为单连通域D内的个解析函数， 为D内一点，环路C为D内包围 的一条简单闭曲线，由单连通
域柯西定理可知，
．
考虑积分
，
显然函数 在 处不解析，所以积分 一般不为零．根据闭路变形原理，这个积分的值对围绕 的任一简单闭曲线都是相同的．因此，可以取以 为圆心、半径为 的很小的圆周 作为积分曲线 ．由于 的连续性，在 上的函数 的值将随着 的缩小而逐渐接近于它的圆心 处的值 ．我们作出这样的猜想，积分
事实上，我们有下面的定理．
柯西积分公式: 如果 在区域D解析， 为D内一点，C为D内包围 的任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，则 .
证明：由于 在点 连续，任意给定一个正的小数 ，必然存在一个 ，使得当 时， 。取 ，使正向圆周 全部在C的内部，根据闭路变形原理有
根据复变函数积分不等式，有
从而必有
于是有
相关推论
2.设 在简单闭曲线 所围成的复连通域D内解析，并在 上连续， 在 的内部， 为D内一点，则
积分公式
对于无界区域，需要假设 在简单闭合围道C上及C外（包括 点）单值解析，类似计算
其中a为C外一点，积分路径C的走向是绕无穷远点的正向，即顺时针方向。在C外再作一个以原点为圆心，R为半径的圆 ，对于C和 所包围的复连通区域，根据有界区域的柯西积分公式，就有
的走向是逆时针方向。只要R足够大，这个结果当然与R的具体大小无关，于是可令 ,若
可得
因此，
当 时，就得到了无界区域的柯西积分公式；如果 在简单闭合围道C以及C外解析，且当 时， 一致趋于0，则柯西积分公式
仍然成立，此处a为C外一点，积分路线C为顺时针方向。
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