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标量乘法

数学术语

在数学中，标量乘法是由线性代数中的向量空间定义的基本运算（更一般地说，它是抽象代数中的一个模块）。在通常的几何概念中，通过正实数的欧几里德向量的标量乘法将矢量的幅值相乘而不改变它的方向。 术语“标量”本身来自于这种用法：标量是向量的幅值。 标量乘法是向量乘以标量（乘积是向量），并且必须与两个向量的内积（乘积是标量）进行区分。

简介
在数学中，标量乘法是由线性代数中的向量空间定义的基本运算（更一般地说，它是抽象代数中的一个模块）。在通常的几何概念中，通过正实数的欧几里德向量的标量乘法将矢量的幅值相乘而不改变它的方向。 术语“标量”本身来自于这种用法：标量是向量的幅值。 标量乘法是向量乘以标量（乘积是向量），并且必须与两个向量的内积（乘积是标量）进行区分。
定义
通常，如果K代表域，V代表K上的向量空间，则标量乘法是从K×V到V的函数。将该函数应用于K中的c、V中的v表示的结果为cv。
属性
标量乘法符合以下法则：
（1）标量中的加法性：（c + d）v = cv + dv（其中v为向量）；
（2）向量中的加法性：c（v + w）= cv + cw（其中v，w为向量）；
（3）标量乘积与标量乘法的兼容性：（cd）v = c（dv）（其中v为向量）；
（4）乘以1不改变向量：1v = v（其中v为向量）；
（5）乘以0给出零向量：0v = 0（其中v为向量）；
（6）乘以-1给出加法逆：（-1）v = -v（其中v为向量）。
这里+是在域或向量空间中的加法；并且0是两者之间的加性特征。 并置表示字段中的标量乘法或乘法运算。
解读
标量乘法可以被视为外部二进制运算或作为向量空间上的域的运算。 标量乘法的几何解释是它通过常数因子来拉伸或收缩向量。
作为特殊情况，可以将V取为K本身，然后可以将标量乘法简单地作为域中的乘法。
当V为Kn时，标量乘法等效于每个分量与标量的乘法，并且可以这样定义。
如果K是交换环，V是K上的模块，但是没有加法逆。 如果K不可交换，则可以定义不同的运算左标量乘法cv和右标量乘法vc（其中v为向量）。
矩阵的标量乘法
矩阵A与标量λ的左标量乘法得到与A相同大小的另一矩阵λA。
更明确的：
类似地，将矩阵A与标量λ的右标量乘法定义为
更明确的：
当底层环可交换时，例如实数或复数字段，这两个乘法相同，简称为标量乘法。 然而，对于不可交换的更一般环上的矩阵，例如四元数，它们可能不相等。
对于一个真正的标量和矩阵：
对于四元数标量和矩阵：
其中i，j，k是四元数单位。 四元数乘法的非交换性阻止了改变 到 的转换。
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