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格拉斯曼数

用于狄拉克场路径积分表示的数学架构

在数学物理学中，格拉斯曼数（又称反交换数）是一种用于狄拉克场路径积分表示的数学架构。格拉斯曼数是以德国学者赫尔曼·格拉斯曼命名的。

性质
各格拉斯曼变数 均与代数的实数元无关，它们之间互成反交换关系，但与一般数 间则为交换关系：
。
需要注意的是，此算符的平方为零：
由于 ，所以 。
为了能让费米子也有路径积分，格拉斯曼数的积分需要有以下特性：
线性
分部积分公式
。
因此格拉斯曼量的积分有以下的规定：
所以结论为任何格拉斯曼数的微分及积分都是相同的。
在量子场论的路径积分表述中，在描述费米子反交换场时，需要用到以下含格拉斯曼量的高斯积分：
。
其中为矩阵。
由格拉斯曼数集合所生成的代数叫格拉斯曼代数。由个线性独立的格拉斯曼数生成的代数，其维度为。
格拉斯曼代数是超交换代数的原型。超交换代数还可以分成偶变量与奇变量，因此可以满足分层的交换律（特别是奇变量为反交换）。
外代数
格拉斯曼代数是生成元所张成的矢量空间的外代数。外代数的定义与基底的选择无关。
矩阵表示
格拉斯曼数都能以矩阵形式表示。例如，已知一格拉斯曼代数，是由两个格拉斯曼数及所生成。这些格拉斯曼数可用4×4矩阵表示：
。
一般来说，由n个生成元生成的格拉斯曼代数，可用的正方形矩阵表示。在物理上，这些矩阵可被视为升算符，作用对象为占位数基底中n个费米子的希尔伯特空间。由于每个费米子的占位数皆为0或1，因此共有种基底态。在数学上，这些矩阵可被视为线性算符，对应与格拉斯曼代数自身的左外乘法。
应用
在量子场论中，格拉斯曼数为反交换算符的“经典类比”。它们用于定义费米子场的路径积分，因此需要为格拉斯曼数的积分下定义，这种积分又叫别列津积分。
格拉斯曼数在为超流形（或超空间）下定义时有重要用途，此时它们被用作“反交换坐标”。
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