检测理论

应用统计术语

检测理论是应用统计推断理论研究从有噪声的信号中提取信息的最佳方式和检测系统的最佳设计，为信息论的一个分支。检测就是从有限个可能出现的信号集合中作出选择，从而在有噪声的信号中提取信息的过程。检测理论是统计信号处理的理论基础之一。除了广泛应用于雷达、声纳、通信、自动控制等技术外，在地震学、射电天文学、地球物理、生物医学、生物物理学等学科领域里，也有广泛的应用。

简史

检测理论是20世纪40年代二次大战中与估计理论同时发展起来的。初创阶段，N．维纳和A．H．柯尔莫哥洛夫等作出了杰出贡献。他们把随机过程和数理统计方法引入到通信和控制系统中，为检测和估计理论奠定了基础。同一时期，在雷达技术的推动下，D．O．诺思于1943年提出了匹配滤波器理论。B．A．卡切尼科夫于1946年提出了理想接收机理论。20世纪50年代，检测与估计理论加速发展。P．M．伍德沃德把信息量概念应用到雷达信号检测中。D．密德尔顿等人用最小风险准则（贝叶斯准则）来处理最佳检测问题，并使各种最佳准则统一于风险理论，使经典检测理论发展到成熟阶段。20世纪60~70年代发展了非参量检测、非线性检测和韧性检测理论，开创了可适用于噪声统计特性未确知情况下的现代检测理论。

基本内容

2.1 经典检测

经典检测又称假设检验，它包括三个基本组成部分。首先是产生各种假设的源。假设可以看成是关于可能判决的陈述。产生这些陈述的机构称为源。其次是概率转移机构，对应于每一种假设，它按照某种概率规律产生赖以作出判断的观察量，即观察空间中的一点。最后根据某种意义下的最佳判决准则，把观察空间划分为对应于各种假设的区域，亦即产生出最佳判决的系统。

判决的依据是观察量的统计特性。对应于每一种假设，似然函数定义为各种条件概率密度函数Pi(r│Hi)(i=0,1,…,M-1)；r为观测矢量(r1,r2,…，rn)。在参量检测中，关于噪声以及信号与噪声之和的概率密度函数是已知的，或者除去确定它们的有限个参量以外是已知的。前者对应于简单假设检验，后者对应于复合假设检验。如果噪声分布的真正形式未知，则有限数目的参量不足以确定它们，这时的检测称为非参量检测。信号检测可以分为三种不同水平的问题。①确知信号的检测,如同步数字通信。②含未知参量的信号检测,如雷达、声纳目标检测，非相干数字通信系统，慢衰落信道数字通信。③随机信号的检测，如被动声纳、地震检测和射电天文检测。

2.2 二元检测　

二院检测是源输出为两种可能的假设之一，分别表示为H0和H1),并称H0为“零”假设。例如,雷达目标检测中,H0假设和H1假设分别表示目标的不存在和存在,记为

H0:r(t)=n(t)

H1:r(t)=s(t)+n(t)　（0≤t≤T）

式中r(t)为接收信号；s(t)为预期目标回波信号；n(t)为干扰噪声。时区[0，T]为观察区间。另一个普通的例子为二元通信问题。这时H0和H1可分别对应于发送的空号s0(t)和传号s1(t)。H0:r(t)=s0(t)+n(t),H1:r(t)=s1(t)+n(t),0≤t≤T。信号检测的目的就是要根据r(t)在某种最佳意义下，判决目标的存在或不存在，判决发送的是空号还是传号。

2.3 M元检测

M元检测是源输出为M个可能的假设H0，H1，…，之一。典型例子为雷达的多目标检测和M元通信问题。信号参量估计问题也可近似地当作M元检测问题来处理。

2.4 最佳准则

理论上的最佳准则为贝叶斯准则──使全部判决的平均风险为最小的准则。假定M个可能发生的消息的先验概率已知并为P(Hj)(j=0,1,…,M-1)。如果实际存在的是消息j而被判定为消息i，定义其判决代价为Cij。假定Cij(i,j=0,1,…，M-1)已经确定。贝叶斯准则是对于任何一组观测数据，选择假设Hj，它产生的平均风险最小。平均风险的定义为P(Hi|Hj)表示Hj为真时，选择Hi的概率。选择使平均风险为极小的假设与选择使条件风险为极小的假设是等效的。条件风险的定义为即给定一组测量数据r，判决假设Hj为真时的风险。P(Hi│r)称为后验概率, 即给定r，Hi为真的概率。这种准则下的最佳检测器是通过计算一组M-1个似然比，然后基于各似然比的相对大小作出判决来实现的，这就是似然比检测系统。第i个似然比的定义为第i个似然函数与第 0个似然函数之比。对于二元检测，只须把似然比Λ(r)=P1(r|H1)/P0(r|H0)与特定门限值λ比较,如果大于门限值判为H1，否则判为H0。作为贝叶斯准则的特例,实际上常用的还有n个判决准则。

如果给定各代价函数，而先验概率未知，一个可能的合理的策略是假定最不利的先验分布，然后再采用贝叶斯准则，这就是极小化极大准则。

通信系统常用最小错误概率准则，即最大后验概率准则，又称“理想观察者”准则。假定正确判决不付出代价，各类错误判决的代价相等，此时使平均错误概率最小就相当于使贝叶斯风险最小。

雷达和声纳目标检测中，先验概率和各种代价函数均不容易确定。这时可以采用奈曼－皮尔逊准则。这一准则的判决门限λ可由虚警（即误判目标存在）概率α确定如下：以门限λ进行似然比判决的系统,其漏警（即漏判目标存在的）概率在给定的虚警概率α下达到最小。

由于似然比既不取决于各先验分布，而且它与各判决代价无关，在上述几种准则下，最佳检测系统仍然是似然比系统，只是各判决门限由相应准则来决定。

2.5 匹配滤波器

假定所接收的有噪声信号为si(t)+n(t),其中n(t)为高斯白噪声，si(t)为相应于消息i的确知信号，这时计算似然比的装置实质上是一个线性滤波器，其传输函数H(ω)与信号的频谱函数S(ω)有下述关系式中k为实数；t0为抽样判决时刻。上式说明所求线性滤波器的传输函数等于信号频谱的共轭值，因而习惯上称之为匹配滤波器。

匹配滤波器有下述性质：①在所有线性滤波器中，匹配滤波器在输出端给出最大瞬时信噪比。②在白噪声下，匹配滤波器的输出瞬时信噪比只与输入信号能量和白噪声功率谱密度有关。③与信号s(t)匹配的匹配滤波器对于信号as(t-τ)(ɑ为常数；τ为时延)来说也是匹配的。即匹配滤波器对于波形相似而振幅和时延参量不同的信号具有适应性，但一般对频移信号是不适应的。④在高斯白噪声情况下，匹配滤波器等效于一个互相关器。

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