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椭圆余弦波

浅水波动

椭圆余弦波（cnoidal wave）是一种浅水波动。在近海椭圆余弦波波面形状与斯托克斯波和摆线波相比更接近实际情况。该波动可用椭圆函数表达，也因此得名。当波高与水深的比值趋于无限小时，椭圆余弦波演化为小振幅波；而当波长趋于无穷时，它变成孤立波。

简介
波浪传入近海浅水区（0.05
椭圆余弦波（Cnoidal Wave）理论是最主要的浅水非线性波浪理论之一。该理论最早由科特韦格（Kortweg）和迪弗里斯（De Vries）于1895年提出，其后由很多学者（如库莱根（Keulegan）-帕特森（Patterson）、凯勒（Keller）、威格尔（wiegel））进行了修正和改进，使之应用于工程实际。所谓椭圆余弦波理论，是指水深较浅条件下的有限振幅、长周期波。它之所以被称为椭圆余弦波，是由于其波面高度是用Jacobian椭圆余弦函数cn来表示的。
适用判据
可以利用Ursell数来判断浅水。首先引入参数ε=d/L（水深与波长的比），ε越小说明水深越浅。另外由于非线性，还引入波高与波长的比值波陡δ=H/L作为运动非线性的标准。Ursell（1953）把两个参数结合起来，引入Ursell判据，即
可以看出，Ur远大于1时，δ大、ε小，即强非线性波与长波；当Ur=o(1)时，δ与ε相当，对于弱非线性和中等程度的波长，适合于stokes波浪理论；而当Ur远小于1时，δ效、ε大，相当于水深与波长相比较、而振幅较小的波浪，即线性波理论适用的范围。由此可见，Ur远大于1就是浅水有限振幅波的判据。在此情况下，发展了一类称之为椭圆余弦波的浅水波浪理论。椭圆余弦波包括了很大一类的有限振幅长波。理论适合的范围是d/L<1/8，Ur>26（Laitone，1963）。
数学表达
以椭圆余弦函数表示的有限深渠道中的非线性波。它是科尔泰沃赫-德弗里（Korteweg-de Vries）方程的周期解。其波形为
式中 x 为水平方向的横坐标；cn（x/β）为椭圆余弦函数；h1和h2为波峰和波谷的纵坐标值；β为一参量。β的表达式为
式中 c 为波速；h为水深；g为重力加速度。波长λ的表达式为
式中F1(k)为以k为模数的第一类完全椭圆积分。参量l与水深h之间还满足下式
式中E1(k)为以k为模数的第二类完全椭圆积分。椭圆余弦波中有6个量h1、h2、l、k、λ和β，受式（2）、（4）、（5）、（6）4个方程约束。若给定波长λ和波峰的纵坐标h1，则其他各量即可求得，而波速c可从式（3）求得。当水深与波长之比在1/50至1/10范围内，可用椭圆余弦波来计算其对海洋结构物的载荷。
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