椭圆函数

数学术语

双周期的亚纯函数。它最初是从求椭圆弧长时引导出来的，所以称为椭圆函数。椭圆函数论可以说是复变函数论在19世纪发展中最光辉的成就之一。

简介

椭圆函数是定义在有限复平面上亚纯的双周期函数。它和椭圆曲线存在密切关系。所谓双周期函数是指具有两个基本周期的单复变函数，即存在，两个非0复数，而对任意整数n，m，有

，

于是构成f（z）的全部周期。

在复平面上任取一点a，以a，a+ω1，a+ω1+ω2 ，a+ω2为顶点的平行四边行的内部，再加上两个相邻的边及其交点，这样构成的一个半开的区域称为

f(z)的一个基本周期平行四边形，将它平行移动nω1+mω2，当n，m取遍所有整数时，即得一覆盖整个复平面的周期平行四边形网，f(z) 在每一个周期平行四边形中的性质都和它在基本周期平行四边形中的一样。

如果复平面上两个点在平移到同一个基本周期四边形后重合，我们就把它们粘合成一个点，经过这样一系列操作之后，我们就得到复平面粘合后的一个商空间，即著名的椭圆曲线，它也是一个亏格1的紧的闭曲面。于是上面的椭圆函数就直接定义在椭圆曲线上。

在基本周期平行四边形中，f(z)有以下性质：非常数椭圆函数一定有极点，且极点留数之和必为零，因而不可能只有一个一阶极点，有n个极点的椭圆函数称为n阶椭圆函数，它在基本周期平行四边形内取任一值n次，即对任意复数A，f(z)－A在基本周期平行四边形内有且仅有n个零点，且f(z) 的零点之和与极点之和的差必等于一个周期。

历史

任何讨论椭圆函数的历史发展必先详尽地考察18世纪的椭圆积分这个结果来自18世纪数学家们的努力是为了表达椭圆和双曲线的弧长椭圆和双曲线可求长的问题引起了 18 世纪一流数学家的注意力 18世纪关注并对椭圆积分做出贡献的数学家有约翰伯努利，法尼亚诺，兰登，拉格朗日，最突出的贡献是欧拉的椭圆积分的加法定理和兰登变换但总的说来这些成就还是比较分散零星，直到18世纪后半期和19世纪数学史上从勒让德对椭圆积分的全面论述开始勒让德的著作椭圆函数论给数学史家留下深刻印象其中出现了人们熟知的三种椭圆积分的勒让德正规形式到雅可比和阿贝尔的椭圆函数发生了很大的一个飞跃，这个飞跃包含了椭圆积分的反演。

雅可比建立的椭圆函数理论极大地扩充了数学领域特别是与复分析的结合不断有更广泛的理论统一了椭圆函数理论，同时也成为实际应用中有力的工具这与雅可比建立椭圆函数理论的思想密不可分，从雅可比奠基性的工作中可以清楚地理出这一数学分支的发展脉络及其承前启后的作用。

举例

魏尔斯特拉斯函数

它表作

f(z)=∑`1/(z-ω)^2，

其中ω=2nω1+2mω2，∑`表n，m取遍全部整数之和，但要除去ω=0的情形。这是一个二阶椭圆函数，在周期平行四边形中，仅有一个ω是二阶极点。可以证明，所有的椭圆函数都可以用δ（z）函数来表示，而每一个椭圆函数都一定满足一个常系数一阶的代数微分方程。

雅可比椭圆函数

它定义为椭圆积分的反函数。

一类椭圆积分：

的反函数是双周期的亚纯函数，记作

w=sn(z)=sn(z,k)

它具有基本周期：