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椭圆积分

积分学术语

在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。

定义
在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数f的积分
其中R是其两个参数的有理函数，P是一个无重根的3或4阶多项式，而c是一个常数。
通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P有重根的时候，或者是R,没有 y的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。
除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：其中是雅可比椭圆函数之一。
记法
椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：
模角
椭圆模;
参数;
上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：
幅度
其中
，其中而是雅可比椭圆函数之一
规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意也依赖于 m。其它包含的关系有
和
后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义
不完全椭圆积分
第一类不完全
第一类不完全椭圆积分F定义为
与此等价，用雅可比的形式，可以设；则
其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。 在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。
但是，还有许多不同的用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（象平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。
注意
其中u如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。
加法公式
导数
第二类不完全
第二类不完全椭圆积分E是
与此等价，采用另外一个记法（作变量替换），
其它关系包括
加法公式
性质
导数
第三类不完全
第三类不完全椭圆积分是
或者
或者
数字n称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意对于任意m是无穷的。
完全椭圆积分
第一类完全
第一类完全椭圆积分K(k^2)
如果幅度为或者 x=1，则称椭圆积分为完全的。第一类完全椭圆积分K可以定义为
或者
它是第一类不完全椭圆积分的特例：
第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以利用算术几何平均值来快速计算。
第二类完全
第二类完全椭圆积分E(k)
第二类完全椭圆积分E可以定义为
或者
它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：
第三类完全
不同 n值的第三类完全椭圆积分
第三类完全椭圆积分可以定义为
注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的n，也即
函数关系
勒让得关系:
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