模格

格论中仅次于分配格的一类重要格

模格(modular lattice)亦称戴德金格，是格论中仅次于分配格的一类重要格，设L是格，对任意a，b，c∈L，若L满足下列条件之一：L5：若a≤c，则a∨(b∧c)=(a∨b)∧c；L5′：(a∧b)∨(a∧c)=a∧(b∨(a∧c))；则称L为模格，L5称为模恒等式。分配格是模格。群的正规子群格、环的理想格都是模格。格L是模格当且仅当L不含五边形格。科里比亚(M.Kolibiar)于1956年用两个恒等式(x∨(y∧y))∧y=y和((x∧y)∧z)∨(x∧t)=((t∧x)∨(z∧y))∧x刻画了模格，模格中一个非常重要的定理是戴德金的转置原理：若L是模格，a，b∈L，则φb：x→x∧b是[a，a∨b]到[a∧b，b]的同构，其逆同构为ψa：y→y∨a.从而在模格L中，若x，y∈[a∧b，b]⊆L，则a ∨(x∧y)=(a∨x)∧(a∨y)。

总体介绍

模格是一种组合构形，是满足如下条件的格：对于格的任意元素x，y和z，若x≤z，则x∨(y∧z)=(x∨y)∧z。

因此，模格是把满足分配律的要求仅局限在可比较元素之间，从而模格可视为分配格的推广，一个格是分配格，则必为模格。

图1里，M5，N5均不是分配格，但M5是模格，而N5不是模格。

在模格L上，映射φa把x映照为x∧a；映射ψb则把y映照为y∨b，这里a和b均为L的固定的元素，于是φa和ψb为区间[b，a∨b]和[a∧b，a]之间互逆的同构映射，因而这两个区间是同构的。模格的这一基本性质，亦可作为模格的另一等价定义。

在模格上，把形如I1=[a∧b，a]，I2=[b，a∨b]的区间称为传递区间，若在两区间[x，y]和[x′，y′]之间存在一组区间I1，I2，…，Ik，使得相邻两个区间都是传递区间，而且I1=[x，y]，Ik=[x′，y′]，则称[x，y]和[x′，y′]中一个为另一个的投影区间。模格的投影区间均是同构的，这种结构上的均匀性是模格的主要特性。

模格也可由模元素来定义：格L为模格，当且仅当L的所有元素均为模元素，若L的元素a满足：对于L的任意元素x，y，由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y，则称a为模元素，此外，格L上的一对元素a和b，若对于L的所有元素z它们满足：若b≥z，则有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z，此时称a，b为模元素对，由定义知，在模元素对a和b之间是有序关系的，这就是说，当a和b为模元素对时，b和a不一定为模元素对，因此，一般把模元素对a和b记为二元序对(a，b)M，或aMb。模格亦可由模元素对刻画：格L为模格，当且仅当L的每对元素均为模元素对，关于模元素对的序关系为对称的格，即若a和b为模元素对，则b和a也为模元素对，相应的格称为模对称格。

例题解析

例1 设S是一个集合，则S的幂集格(P(S)，⊆)是一个模格。因为对于任意的A，B，C∈P(S)，当B⊆A时，利用集合论中交对于并的分配律有：

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=B∪(A∩C)。

例2 图2给出了五个格，不难验证和L4都是模格。但L5不是模格，这是因为由c≼d，可得d∧(c∨b)=d，c∨(d∧b)=c，但d≠c。我们称L3为钻石格，L5为五角格。

例2中的五角格是很重要的，可利用它来判断一个格是不是模格。

定理一个格S是模格，当且仅当S中不含有与五角格同构的子格。

该定理的证明比较复杂，在这里略去，只要会利用即可。

例3 如图3所示的格S中，因为{a，b，g，e，c}是格S的子格，而这个子格是与例2中的五角格同构的，所以格S不是模格。

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