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欧拉回路

信息学术语

如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Euler path)。

发现
欧拉回路是数学家欧拉在研究著名的德国哥尼斯堡(Koenigsberg)七桥问题时发现的。如图1所示，流经哥尼斯堡的普雷格尔河中有两个岛，两个岛与两岸共4处陆地通过7座杨 彼此相联。7桥问题就是如何能从任一处陆地出发，经过且经过每个桥一次后回到原出发点。
这个问题可抽象为一个如图2所示的数学意义上的图，其中4个结点分别表示与4块陆土Il 对应，如结点C对应河岸C，结点A对应岛A等，而结点之间的边表示7座桥。
欧拉由此提出 了著名的欧拉定理。
1）欧拉路：通过图中所有边的简单路。
2）欧拉回路：闭合的欧拉路。
3）欧拉图：包含欧拉回路的图。
判断
以下判断基于此图的基图连通。
无向图存在欧拉回路的充要条件
一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。
有向图存在欧拉回路的充要条件
一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。
混合图存在欧拉回路条件
要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：
假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。
其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任意构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii
解法
无向图欧拉回路解法
求欧拉回路的一种解法
下面是无向图的欧拉回路输出代码：注意输出的前提是已经判断图确实是欧拉回路。
C语言代码，不全，请不要直接粘贴。
pascal代码:
求无向图的欧拉回路（递归实现）
注意record中的点的排列是输出的倒序，因此，如果要输出欧拉路径，需要将record倒过来输出。
求欧拉回路的思路：
循环的找到出发点。从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。这种方法不保证每个边都被遍历。如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被连接到一起了。
具体步骤：
1。如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径中
2。如果该点有相连的点，那么就加入队列之中，遍历这些点，直到没有相连的点。
3。处理当前的点，删除走过的这条边，并在其相邻的点上进行同样的操作，并把删除的点加入到路径中去。
4。这个其实是个递归过程。
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