正二十四胞体

正多胞体中最特殊的一种

正二十四胞体(Icositetrachoron，24-cell)，有时又作复正八面体(Octaplex=Octahedral complex)，表面由24个正八面体构成，是一个四维空间里的几何产物，正多胞体中最特殊的一种，因为它没有三维类比。

简介

它的施莱夫利符号为{3,4,3}，自身对偶

其顶点图是立方体，正24胞体每条棱上有3个正八面体。

三维投影

施莱格尔投影

严格来说正二十四胞体是没有三维类比的，因此也不好说是根据哪个正多面体的施莱格尔投影类比到三维上来的。

不过只要根据正二十四胞体每条棱上有3个正八面体这个条件在三维空间上画投影就不会太难，如图1。

正二十四胞体的构成数据如下：

胞（正八面体）数：24，面（正三角形）数：96，棱数：96，顶点数：24

球极投影

将正二十四胞体的表面膨胀使之成为一个超球，然后投影到三维上，如图2。

二维线架正投影

如图3，有线段重合。

以(±1,±1,0,0)的全排列为顶点坐标建立正二十四胞体，进行正交变换

，，， 0

0 ，，， 0

，，， 0

0， 0， 0， 1

向前两坐标所在平面投影可得此图。

也可以将此正二十四胞体投影至前三坐标轴所在三维空间投影，再作此投影的正轴测图，也得到此二维线架正投影。

施莱夫利符号

正二十四胞体24-cell的施莱夫利符号有好几个　{3,4,3}：特指它是正多胞体Icositetrachoron

t1{3,3,4}（t后面的那个“1”下标）：特指它由16-cell截角得到，代指Rectified 16-cell

t1{3^(1,1,1)}（t后面的那个“1”下标，“1,1,1”上标）：特指它由Demitesseract截角得到，代指Rectified demitesseract

类比

也不能说没有三维类比，毕竟正方形是24-cell的二维类比，在根据它们两个的施莱夫利符号，一定意义上说正二十四胞体还是有三维类比的：截半立方体（半正多面体）或菱形十二面体（卡塔兰立体，半正多面体的对偶）　同时正二十四胞体不会有向更高维的类比

二胞角

对于的二胞角的求导是要用到四维解析几何慢慢求的，太麻烦，这里有种特殊的方法

因为正十六胞体的二胞角是120°，因此可以用它做一个四维空间堆砌(Tetracomb)，每个面上有三个正十六胞体——即施莱夫利符号为{3,3,4,3}，得到这个堆砌的对偶{3,4,3,3}——同样是一个四维空间堆砌，而这个对偶每个面上有三个正二十四胞体（{3,4,3}），所以正二十四胞体的二胞角和正十六胞体一样是120°。

坐标

正二十四胞体的24个点坐标有点特殊，是一个超正方体与一个正十六胞体的结合：前16个点坐标是(±0.5,±0.5,±0.5,±0.5)，后8个点坐标是(±1,0,0,0)的全排列。另一方面24个点坐标也可以(±1,±1,0,0)的全排列

因为正二十四胞体的那四项数据(24,96,96,24)均是超正方体与正十六胞体的各项和，所以又称：

超正方体+正十六胞体=正二十四胞体

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