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正交变换

数学术语

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。

定义
几何定义
在线性代数中，正交变换是线性变换的一种。对一个由空间投射到同一空间的线性转换，如果转换后的向量长度与转换前的长度相同，则为正交变换。
其中在空间内，n表示维度。
对于正交变换T以及两个向量和，和之内积等于正交转换后之向量和之内积。
其中N为向量长度，u[n]和v[n]分别为和之元素，正交变换不会影响转换前后向量间的夹角和内积长度。
代数定义
在矩阵表示形式上，如果为正交变换，则为正交矩阵，对于正交变换之正交矩阵，其每个行或列互为正交，令为之矩阵，取两个不相同的列和遵守下列关系。
等价刻画
设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价
1.σ是正交变换；
2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；
3.如果ε1,ε2,...,εn是标准正交基，那么σ(ε1),σ(ε2),...,σ(εn)也是标准正交基；
4.σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
正交矩阵
定义：n级实矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=AAT=E。(AT表示A的转置矩阵，E是单位矩阵)
性质：正交矩阵的行（列）均为单位向量，且任意不同的两行（列）均正交（内积为0）；矩阵行列式丨A丨=±1。
分类
设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵
若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。
若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。
第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。
注意：丨A丨=±1是变换σ成为正交变换的必要不充分条件。
性质
（1）正交变换不会改变向量间的正交性，如果和正交，则和亦为正交。
（2）如果和皆为正交矩阵，则亦为正交矩阵。
（3）正交变换容易做反运算，即正交变换可逆。
（4）如果为正交矩阵，的反矩阵亦为正交矩阵。
（5）对于正交变换，如果和可以做内积，和做内积之值等于和做内积之值。
（6）正交变换把共线的点变成共线的点，不共线的点变成不共线的点，且保持直线间的夹角不变。
举例
以二维空间为例，一个线性变换可写作
即
当系数矩阵为正交矩阵时，该线性变换被称为正交变换。
应用
正交变换的种类非常的广，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都属于正交变换。对矩阵做旋转或是镜射也属于正交变换。
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