正交拉丁方

数理科学

两个n阶拉丁方在同一位置上的数依次配置成对时，如果这两个有序数对恰好各不相同（一般处理方法为把当中某些行或列对调）（这种相同即经过有限次旋转和镜像对称后不重合）。下面是两个互为正交的4阶拉丁方。

类型

1、4阶拉丁方

下面是两个互为正交的4阶拉丁方

(4.1)(3.3)(2.4)(1.2)

(2.2)(1.4)(4.3)(3.1)

(1.3)(2.1)(3.2)(4.4)

(3.4)(4.2)(1.1)(2.3)

6阶的正交拉丁方源自于欧拉提出的三十六军官问题.

2、拉丁方、正交拉丁方与正交拉丁方组

定义 1 ：（拉丁方）

A 为 n 乘 n 矩阵，若 A 的每行,每列都恰好是 (1, 2, ..., n) 的一个置换，则称 A 是 n 阶拉丁方。

定义 2 ：（正交拉丁方）

设，是两个 n×n 的拉丁方.若矩阵中的个数偶互不相同，i,j=1,2,…,n，则称和正交，或称和是互相正交的拉丁方。

定义 3 ：（正交拉丁方组）

{A_1, ..., A_k} 是 k 个 n 阶拉丁方，若它们两两正交，则称它们是一个正交拉丁方组。

任意的正整数 n 都存在 n 阶拉丁方，但不是存在任意阶数的正交拉丁方。1782 年，欧拉提出了一个著名的欧拉猜想——不存在 n=4k+2 阶的正交拉丁方，直到 1900 年法国的塔利证明了欧拉猜想 n=6是正确的，到1960 年印度数学家玻色等证明了对于 2 和 6 以外的其他 4k+2 型数欧拉猜想都不正确。

应用

拉丁方的应用起始于 20 世纪早期，它首先被人们作为平衡非完整块设计应用在统计分析中，拉丁方在实际应用中非常广泛。其中一个很重要的应用是合理安排实验。例如，1,2,3,4 这 4 种品牌的汽车轮胎磨损测试，若动用编号为 A,B,C,D 的 4 辆小汽车参加试验，由于同一牌子的轮胎在不同部位，不同车的磨损程度有差别，为了使试验次数少且均衡，可以安排如图1。

如果同时要考虑 4 种不同牌子的刹车车闸对车胎的磨损，则还要求 4 种车闸在 4 辆车及 4 个不同位置各出现一次。当然还要求不同牌子的轮胎和车闸恰好配合一次。车闸的实验安排如图2。

上述两个矩阵为正交的拉丁方，则车轮与车闸的配合试验可安排如图3。

拉丁方在无线通信仿真设计中也有着很重要的作用。在无线通信系统设计中,仿真链路可变的参数种类繁多，而每种参数又可以取多个水平值，因此一个完备的遍历考察有巨大数目的状态空间，仿真评估往往成为不可能完成的任务。利用正交拉丁方均匀搭配不同参数和各种取值，组成特定的考核状态空间，使得工作量呈几何级数下降，仅用较少的实验次数就能够达到

近似于全遍历状态空间的效果。