正则公理

集合论

正则公理是集合论的ZF公理系统中的一条公理。它的表述为：“对任意非空集合x，至少有一 y∈x使x∩y为空集。”

定义

正则公理（也叫做基础公理）是Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。在一阶逻辑中，这个公理可叙述如下：

正则公理是集合论的ZF公理系统中的一条公理。它的表述为：“对任意非空集合x，其中x至少有一元素y使x∩y为空集。”

从这个公理可得出两个结果，其一为“不存在以自身为元素的集合”，其二为“没有无限序列an使得对于所有i，ai+1是ai的元素”。通过选择公理可以证明后者的逆命题也成立：如果这样的无限序列不存在，则正则公理为真。所以在假定选择公理的情况下，两个陈述是等价的。

正则公理被认为是Zermelo-Fraenkel 集合论中应用最少的公理，因为数学分支中的所有关键性结果都可用集合论中的其他公理证明得到。另外，不包含正则公理的康托的集合论，实际上假定了以自身为一个元素的集合（真类）的存在。

基本蕴含

不存在以自身为元素的集合

反证，假设有一个非空集合A，使得A是自身的一个元素，即。这时，根据配对公理，可以构造出，B也是一个集合。由于只有，根据正则公理，我们得到。但是根据我们的假定有及，所以。这与正则公理相矛盾！所以不存在这样的集合A。

不存在无限递降的集合序列

设f为一定义在自然数集上的函数，且对每个n，f(n+1) 都是f(n) 的一个元素。定义f的值域S= {f(n):n是自然数}，按照函数的形式定义S是一个集合。对S应用正则公理，可知S中有一个元素f(k)，其与S不相交。但按照f和S的定义，f(k) 和S有一个公共元素（就是f(k+1)）。这是个矛盾，所以不存在这样的f。

注意这个论证只有在集合（而非不可定义的类）的情况下才对f适用。继承有限集合Vω是满足正则公理的，所以如果你构造Vω的一个非平凡的超幂，那么它也会满足正则公理，但是，它会包含无限递减的元素序列。例如，假定n是非标准自然数，则有，如此类推，对于任何标准的自然数k有。所以这是个无限递降的元素序列。但是这个序列在这个模型中是不可定义的，因此它并不是集合，也就没有违反正则公理。

设非空集合S是正则公理的一个反例；就是说S的所有元素都与S有非空交集。设g是S的选择函数，就是说对于S的每个非空子集s，g会把s映射到s自身的一个元素。然后，在非负整数上递归的定义函数f为如下：

（1）

（2）

那么对于每个n，f(n) 是S的一个元素，因此它与S的交集是非空的。从而f(n+1) 是良好定义的，并且是f(n) 的一个元素。所以f是一个无限递降的链。这是一个矛盾，所有这样S不存在。

确使有序对 (a,b) 可定义为 {a,{a,b}}

这个定义消除了有序对的 Kuratowski 规范定义 (a,b) = {{a},{a,b}} 中的一对花括号。

拓展

罗素悖论和正则公理的联系

罗素悖论实际上构造了一个真类，而根据正则公理，真类被排除在ZF集合论的公理体系之外。也就是说，正则公理并没有真正解决罗素悖论，只是限制了数学所讨论的集合（更恰当的说法是类或是搜集）的范围，从而避开了罗素悖论。这是数学家们所找到的最好的解决办法：通过正则公理排除所有已知的矛盾。

注意正则公理并没有否定罗素悖论，因为如果通过其他公理能够构造出该悖论中的集合，那么仍然是矛盾。实际上不用正则公理，罗素已经替我们证明了这个集合是不存在的。

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