正常重力位

正常椭球产生的重力位

地球的重力位则为地球的引力位和惯性离心力位的代数和。重力位函数是位置坐标的函数，它在各个方向的导数值就是重力场强在该方向上分量的大小。重力位函数在铅垂方向的导数，就是该点的重力值，在数值上等于重力加速度g值。

定义

正常重力位是重力场理论中的一个基本概念。即一种正常地球模型的重力位，或平均地球椭球的重力位。其球函数级数表示式为

式中系数

G、M和ω分别为万有引力常数、地球的质量、地球自转角速度；A、B、C分别为主惯量，其中C是绕地心坐标极轴（z轴）的转动惯量；a和e分别是平均地球椭球体的赤道半径和第一偏心率；(r,θ)为子午平面地心坐标，由于旋转椭球的对称性，U与经度λ无关。

确定方法

确定正常重力位的方法很多，主要介绍两种：一种叫拉普拉斯(Laplace)方法。它是将重力位函数W按球谐函数展成级数，选取级数的头几项，略去余项，所得的近似重力位作为正常重力位。另一种方法叫斯托克斯(Stokes)方法。它是已知旋转椭球体的表面形状S，以及它的总质量M和旋转角速度ω，然后用数学方法求得该旋转椭球体的重力位，并把它当成正常重力位。

拉普拉斯方法

用球谐函数表示的地球重力位函数：

选取头几项作为正常重力位。项数选取多少，需视实际观测资料的精度和对正常重力位要求的精度而定。若选取前3项，所得正常重力位为：

当令U=常数，就可得到一簇正常位水准面，其中有一个是非常接近于大地水准面的。它通过ρ=a，θ=π/2处，因此这个水准面上的正常重力位值为：

斯托克斯方法

该法是任意选择一个近似于地球平均水准面的旋转椭球面作为正常位水准面，并且已知其内部质量和旋转角速度，然后求得其外部位作为地球正常位。这种选择方法更方便实用，其正常重力场公式就不必采用球谐函数级数展开方法推求，而采用斯托克斯理论直接导出其严密公式（封闭公式）。在推求公式时，引入了椭球正交坐标系，这里直接给出旋转椭球上的正常重力公式（又称索米里安公式）：

式中，B是大地纬度（椭球面法线与赤道面的交角），a、b分别为椭球的长半径和短半径，γe是椭球赤道上的正常重力，γp是椭球极点上的正常重力。

以上是封闭形式的公式，在实际应用中，还可导出级数展开、顾及到扁率平方级的正常重力公式：

式中

这就是索米里安实用公式，又称二级小的克莱罗定理。

两点说明：①封闭公式基础上进行的级数展开，可根据要求的精度决定展开的项数，椭圆形状不会因此而改变。②引入新符号：

位函数引入

位函数即势函数。描述场的一种量。数值上等于单位质量的质点由无穷远处(相对于场的作用范围)移至该点力场所作的功。是空间坐标的函数，在其方向上的投影等于该点的场强度在同一方向上的分量。例如，设作用在质量为m的质点上的力为F(x,y,z)，它对质点所作的功为

式中ds为在力作用方向上的位移; 若力F(x,y,z)只是坐标的函数，则Fxdx+Fydy+Fzdz恰是某一函数φ(x,y,z)的全微分，即

则把函数φ(x，y，z)称为力的位函数。力场位函数是一种标量函数。仅当空间位置的矢量函数的旋度为零时，该函数才可用一个标量函数的梯度来表示; 力的旋度为零是力场位函数存在的充要条件。在地震学中研究波的传播时，引入标量位函数和矢量位函数，对运动方程进行分离变量处理，可得到分别用标量位函数和矢量位函数表示的两个独立的波动方程。前者只包含胀缩变形，后者只包含等体积的切变变形。位函数的概念使用很广。除力场位函数外，还有表面电荷或质量分布的位函数，电荷或质量体积分布位函数以及表面上双层偶极子分布位函数等。

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