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正项级数

数学术语

正项级数，是一种数学用语。在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。

定义
若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。
换句话说，若 ，则称级数 为正项级数。
收敛性判别
部分和数列判别法
正项级数的部分和数列 是单调增加的数列即： ， 收敛的充要条件是有界，因此有：
正项级数 收敛的充要条件是：它的部分和数列 有界，即存在某正数 ，对于一切正整数 有 。
比较原则
设 和 是两个正项级数，如果存在某正数 ，使得对一切 都有 ，则有：
（1）若级数 收敛，则级数 也收敛；
（2）若级数发散，则级数也发散。
比式判别法（达朗贝尔判别法）
设 为正项级数，且存在某正常数 及常数 。
（1）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 收敛；
（2）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 发散。
比式判别法的极限形式：
设 为正项级数，且 ，则有：
（1）当 时，级数 收敛；
（2）当 或 时，级数 发散。
注意：若 ，这时用比式判别法不能对级数的敛散性做出判别，因为它可能是收敛的，也可能是发散的，例如级数 和 ，他们的比式极限都是 ，但 是收敛的， 却是发散的。
根式判别法（柯西判别法）
设 为正项级数，且存在某正常数 及正常数 。
（1）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 收敛；
（2）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 发散；
柯西判别法的极限形式：
设 为正项级数，且 ，则：
（1）当 时，级数 收敛；
（2）当 ，级数 发散。
注意：若 ，这时用根式判别法不能对级数的敛散性做出判别，因为它可能是收敛的，也可能是发散的，例如级数 和 ，他们的比式极限都是 ，但 是收敛的， 却是发散的。
积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
设 为 上非负减函数，那么正项级数 与反常积分 同时收敛或同时发散。
典例
p级数
讨论 级数 的收敛性，其中常数 。
解：分两种情况讨论，
（1）当 ， 级数的各项大于等于调和级数 的对应项，即 ，由于调和级数发散，因此根据比较判别法可知，此时 级数发散。
（2）当 时，记 级数的部分和为： .
当 时，取 ，则有 ，所以有：
从而
即有 。
这表明当时， 级数的部分和有界。因此，当时，级数收敛。
例2
讨论正项级数的敛散性。
解：
（1）当时，对一切都有，因此级数发散。
（2）当时，对一切都有，而为收敛的等比数列，因此级数收敛。
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