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留数

复变函数论中重要概念

留数是复变函数中的一个重要概念，指解析函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。留数数值上等于解析函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。根据孤立奇点的不同，采用不同的留数计算方法。留数常应用在某些特殊类型的实积分中，从而大大简化积分的计算过程。

洛朗展开
若 是 的孤立奇点且 在 内解析，则 的洛朗展开式为：
（泰勒公式展开）
定义
设 是 的孤立奇点， 在圆环域D： 内解析，C是D内围绕 的任一正向简单闭曲线，则称积分
为 在 处的留数，记为 ，即
其中 为 的洛朗展开式中负幂项 的系数。
留数定理
设函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么
留数的计算
可去奇点处留数的计算
若为 的可去奇点，则 在 的去心邻域内的洛朗展开式中没有负幂项，因此 ，即 。
本性奇点处留数的计算
若为 的本性奇点，则需要将在的去心邻域内进行洛朗展开，然后求出负一次幂项的系数，即为留数。
极点处留数的计算
1）若为的单极点，则
2）若，其中在处解析，如果，为的1级零点，则为的单极点，且
3)若为的m阶极点，则
根据上面孤立奇点的类型，采用不同的计算方法，可以减少计算积分的工作量。
应用
利用留数定理，可以将特殊类型的实积分转换为某个复变函数沿简单闭曲线的积分，然后利用留数定理计算，从而大大简化计算过程。
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