比拟法

实验应力分析方法

实验应力分析方法的一种。它是根据两种物理现象之间的比拟关系，通过一种物理现象的观测试验，研究另一种物理现象的方法。如果两种(或两种以上)物理现象中有可用形式相同的数学方程描述的物理量，它们之间便存在比拟关系，比拟法即因此得名。

简介

根据两种物理现象之间的比拟关系，通过一种物理现象的观测试验，研究另一种物理现象的方法。

基本原理

用一种较易观测试验的物理现象，模拟另—种难以观测试验的物理现象，可使试验工作大为简化。

分类

在实验应力分析领域中，常用的有薄膜比拟、电比拟、电阻网络比拟和沙堆比拟等方法。

A. 薄膜比拟

从弹性理论得知，均匀张紧的弹性薄膜的横向挠曲和等截面受扭直杆的横截面中的剪应力，都由泊松方程描述：

其边界条件分别为：

式中为薄膜的挠度；p为单位面积上的横向力；为薄膜边界上单位长度内的拉力；为扭转应力函数；G为剪切模量；θ为单位长度的扭转角(弧度)；为薄膜和杆件的横截面的边界(i=1，2)；x、y为直角坐标。由此可见，如薄膜的边界在一个水平面上，其形状和受扭杆件的横截面相似，而且(C为比例常数)，则挠度和扭转应力函数成比例。试验时，在一块平板上开一个和受扭杆件的横截面形状相似的孔，将薄膜(如橡皮膜、肥皂膜等)张在孔上，然后在薄膜的一侧微微施加气压，使它挠曲。测绘出薄膜挠曲后的等高线(图1)。由等高线图可得出如下结果：

①薄膜上任意点的等高线的切线方向，就是受扭杆件横截面上的对应点的剪应力方向。

②薄膜上任意点的最大斜率(可由等高线的竖直和水平间距算出)和受扭杆件横截面上对应点的剪应力大小成比例。若在同一平板上开一圆孔(如图1右边的圆孔)，张上相同的薄膜，并施加同样的气压，就可以标定出这一比例值。

③挠曲薄膜表面和平板表面之间所包含的体积和受扭杆件的扭矩成比例。

如果薄膜上的单位面积的横向力p=0，则可模拟拉普拉斯方程描述的力学问题，即

在平面应力场中，

表示主应力和，它和薄膜的高度h成比例。薄膜比拟特别适用于确定非圆截面杆件的扭转性能。

B. 电比拟

考察导电板(或电解槽)的一个单元ABCD，如流经该单元四周边界的电流为(图2)，则导电板内的电势分布由拉普拉斯方程描述：

如按图3所示，在该单元表面再输入另一电流，则式(7)右边不再等于零，而等于，从而可用下述泊松方程描述：

式中U(x，y)为电势分布函数；ρ为导电介质的电阻率；为外加电流。因

此，只要使导电板(或电解槽)的边界形状和模拟物体的形状保持相似．并在边缘加上和已知边界值成比例的电势．就可用来模拟这两个方程所描述的范围很广的各种力学问题。当然，在泊松方程的情况下，还须在导电板(或电解槽)的边界内部输入恒值电流(它相当于用薄膜比拟时所加的单位面积横向载荷p)。

C. 电阻网络比拟

用离散的电阻器组成的网络代替上述导电介质．同样可以模拟拉普拉斯方程和泊松方程所描述的现象。此外，还可设计出表示各种弹性结构的应力或应变的电阻网络．图4所示的电阻网络，为互相联接的双层网络．相邻的每两个节点之间的电阻都为R，从某一或某些节点通入电流，则各电阻都有一定的电流分布，使每两节点之间有一定的电压分布，因而可模拟双调和方程所描述的力学问题．例如板在其自身平面内受载时，其应力状态可由下列双调和方程描述：

式中为艾里应力函数。如在上层网络的内节点输入电流，即可模拟板在横向受载时的问题：

式中w(x,y)为板的横向挠度函数，p为单位面积载荷;

式中t为板的厚度，v为泊松比．

电阻网络法还可用来模拟梁和桁架的斜率—挠度方程，以及用来研究框架中的风载和沉陷应力．梁和板的振动和瞬态应力。

D. 沙堆比拟

从塑性理论得知，理想塑性材料的等截面直杆受扭转达到极限状态时，其横截面上的剪应力分布可用抛物型方程描述，即

其边界条件为：

式中为应力函数，为剪切屈服极限，S为横截面的边界．

沙堆试验的基本方程为:

式中h为沙堆表面的高度，ζ为抄堆的梯度．因为式(12)和式(14)之间存在比拟关系．故可用沙堆来模拟这种全塑性扭转的应力分布问题。这时，沙堆的梯度相当于,沙堆的高度分布h(x,y)相当于应力函数。根据应力函数与剪应力的关系式，以及(12)和(14)式的比拟关系，得：

则直杆所受的扭矩为：

式中A为杆件的截面面积，V为沙堆的体积．其数值的两倍和扭矩的数值相当。沙堆试验是将一块金属板制成和受扭杆件的横截面相似的形状．平放在一个铁框架的支座上，将沙子覆盖在上面．用四根铁丝绳将这铁框架悬挂在水平的位置，然后将铁框架缓慢地提起．堆在金属板上的沙子便形成各种形状的沙堆模型(图5)．