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等值集

数学术语

等值集(level set)亦称水平集，是等高线、等高面的数学抽象，设函数f：A→R，A⊆Rn，对于常数c，集合{x∈A|f(x)=c}称为f的c等值集，简称等值集，当n=2或3时，等值集常常是曲线或曲面，称为等值线(又称等高线)或等值面(又称等高面)，例如，设想f(x)为R3中的温度场，则等值面就是等温面，等值集常用于研究多元特别是二元实值函数的图象。

基本介绍
设f(P)为一函数，c为其值域内的一个数，集合{P|f(P)=c}称为此函数的c等值集。对不同的c，相应有不同的c等值集。
若P是二维的，则c等值集为{(x,y)|f(x,y)=c)，一般说来，它是一条曲线。
若P是三维的，则c等值集为{(x,y,z)|f(x,y,z)=c)，一般说来，它是一个曲面。
若P是更高维的，则c等值集就没有直观意义。
c等值集可以帮助我们了解f(P)随P而变的情况。
例题解析
【例1】设为已给函数f(P)。
为其4—等值集，它是个圆；
为其3—等值集，它是个圆；
为其2—等值集，它是个圆；
为其1—等值集，它是个圆。
从这些等值集可见当增加时，f(P)也增加f(P)之图像一个茶杯(图1)。
【例2】设为已给函数。
为其1—等值集，它是个圆；
为其2—等值集，它是个圆；
为其3—等值集，它是个圆；
为其4—等值集，它是个点圆。
从这些等值集可见当减小时f(P)增加，f(P)的图象像一顶草帽(图2)。
【例3】 的k等值集是=k。它是一个以(a，b，c)为球心，为半径的球面。球越大，函数值也越大。
从这个例子可见，即使我们不能画出函数的图象，但还是可以通过等值集大致地看出函数值的改变情况。
f(x,y,z)的k等值集是{(x,y,z)|f(x,y,z)=k}。如记f(x,y,z)-k为F(x,y,z)，则此等值集即{(x,y,z)|F(x,y,z)=0}不管什么F(x,y,z)=0，这种集合也叫做F(x,y,z)=0的图象而F(x,y,z)=0则叫这图象的方程。
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