沃尔什变换

沃尔什变换（Walsh transform）以沃尔什函数为基本函数的一种非正弦正交变换。

定义

1923年，美国数学系J.L Walsh提出walsh函数。函数展开有三种：Walsh序的Walsh函数，佩利序的Walsh函数，哈达玛序的Walsh函数。

沃尔什变换主要用于图像变换，属于正交变换。这种变换压缩效率低，所以实际使用并不多。但它快速，因为计算只需加减和偶尔的右移操作。沃尔什变换的定义如下：给定一个NXN像素块Pxy（N必须是2的幂），二维WHT定义为如图1：

沃尔什函数Wal(k，t)是美国数学家J．L．沃尔什(J．L．Walsh)1923年提出的，定义在半开区间0≤t<1的一组完备、正交矩形函数，其波形如图所示。从图中可见，函数只取+1和-1两个值。显然，它的抽样也只有+1和-1两个值，与数字逻辑中的两种状态相应，特别适合于数字信号处理。沃尔什变换与傅里叶变换相比，由于它只存在实数的加、减法运算而没有复数的乘法运算，使得计算速度快、存储空间少，有利于硬件实现，对实时处理和大量数据操作具有特殊吸引力。在通信系统中由于它的正交性和具有取值和算法简单等优点，便于构成正交的多路复用系统。

沃尔什函数与正弦-弦函数相同，也是一种完备的正交函数系。所谓完备性，就是所有相互正交的函数全部包括在该函数组内，再没有别的非零函数与它正交。因而，与在一定条件下，函数可以表示为傅里叶级数相似，对任一在0≤t<1单位区间平方可积的周期函数x(t)均可展开为沃尔什级数，且此级数具有收敛性。即，按x(t+1)=x(t)，则对所有t都有如图2.

式中a0是直流项，ak是序号为k的沃尔什波的幅度，其大小由下式确定，即如图3

由此可见，沃尔什级数可用于信号序列率谱分析，特别是被逼近的波形不光滑而是阶梯函数时，效果较傅里叶级数好。为了便于数字处理，对连续沃尔什函数进行等间隔抽样。设单位时间内取N个样点，则抽样间隔△t=1/N，以X(k)代替ak，故②式改写成为如图4

式③即离散沃尔什变换（DWT）的定义式。若已知输入信号数据x(n)，可求得相应序率谱幅度系数X（k）。同理，已知X（k）可通过逆变换求x(n)，即如图5

按沃尔什编号的沃尔什函数

沃尔什函数与正弦函数有所不同，在单位区间内由于不一定是周期函数，所以过零点的分布不一定是等间隔的。如图6所示。但为了与正弦函数的频率相对应，因此沃尔什函数定义单位时间内波形过零点数务（或变号数）为序率，它的1/2为列率并以Sk表示，即如图7

图中8个波形的序率是按自然递增的顺序排列的，所以称这种排列为按沃尔什编号（或列率排列）的沃尔什函数，以Walω(k，t)表示。下脚注ω表示按沃尔什编号。此外还有佩利（Paley)编号Walp(k，t)和哈达理(Hadamard)编号Walh(k，t)共三类。这三类编号的沃尔什变换是完全等价的，实际上只是排列次序有所不同而已。由于按哈达玛编号的沃尔什变换（WHT）其变换矩阵具有简单的递推关系，且正、反变换矩阵完全相同，所以获得广泛应用。如通信领域中的多路数字通信系统、语音加密、视频编码系统、雷达系统、图像通信系统；在信号处理领域中的信号分析与综合、功率谱分析、模式识别、图像处理。特别是在图像传输、存储系统中，用于图像压缩非常有效。

沃尔什变换虽有上述许多优点，但与建立在正、余弦函数基础上的傅里叶变换相比，在理论上和实践上还有许多问题需要研究和进一步解决。如相关与卷积的运算，以及如何从经济上和技术上解决以矩形波为基础的设备，来取代现有以正弦波为基础的大量设备等问题。

离散变换

若N=2^n，则离散的沃尔什变换对为图8

这里bi(z)为z的二进制数的第i+1位的值（即0或1）。如N=8时的变换核和反变换作用矩阵形式表示为 9。

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