泊松括号

数学术语

泊松括号在数学及经典力学中是哈密顿力学重要的运算，在哈密顿表述的动力系统中时间推移的定义起着中心角色。

简介

泊松括号在量子力学中有很重要的作用。它与量子力学的联系最早是由狄拉克提出的，他发现量子力学中力学量的对易关系与经典力学中的泊松括号非常相像，在这个基础上，狄拉克创立了量子力学的符号法，根据这种类比，我们只要在下面所讨论的力学量的运动方程左边乘上一个因子，就得到了量子力学的海森堡方程；只要在下面基本泊松括号等号的右边乘上一个相同的因子，就得到了量子泊松括号（量子力学中将它称为对易子）。

定义

法国科学家S-D泊松求解哈密顿正则方程时所用的一种数学符号，，定义为：

称为f和H的泊松括号（f和H的次序是很重要的）。式中f和H是2N个正则变数的两个任意函数。泊松栝号经正则变换是不变的，即

正如我们所知，在体系运动过程中保持不变的力学变量称为运动积分。从上面的方程可以看出，量f为运动积分（）的条件可以写为：

特别是，如果力学量f不明显地依赖于时间，那么这个条件就是

即运动积分与哈密尔顿函数的泊松括号为零。以前我们要判断一个力学量f是否是运动积分，一般需要先解出运动方程，得到和，然后把它们代入中，才能看出f是否和时间无关。而现在，我们可以直接从f和H的关系判断是否为运动积分。最简单的例子是：若f就是H本身，显然，然后得到哈密尔顿函数为运动积分的条件是，这是我们早已熟悉的结论。

利用泊松括号，我们还可以把正则方程写成完全对称的形式（让f分别等于和）

泊松括号还有其它很重要的应用，在介绍它们以前，先来了解一下泊松括号的性质会使我们的计算更加简明。为此，把泊松括号稍作推广：任意两个力学量f和g，其泊松括号类似地定义为：

性质

从定义很容易导出泊松括号具有以下性质。把两个函数对调，泊松括号改变符号（反对称）；如果其中一个是常数c ，那么泊松括号等于零：

其次还有（双线性，因为对第一个力学量f也有类似的关系）：

另外还有（Leibniz 法则，这只是类似于微分的链式法则的一个不同称呼而已）

如果 f 仅仅是q 或者仅仅是p的函数，那么由定义可直接得到：

如果函数 f 和g中有一个是坐标或动量，那么泊松括号括号简化为偏导数：

第一个式子可以令得到，此时由于以及，求和只有一项有贡献。在上式中让f等于和，我们可以得到：

泊松括号的最后一个性质：

这个性质很容易从定义看出，不仅如此，如果你把上面对时间的偏导数换成全微商也是成立的，也就是说

这个关系可以利用 Jacobi 恒等式得到证明，这是因为：