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泛函导数

向量导数的推广

在数学和理论物理中，泛函导数（functional derivative）是向量导数的推广。后者相对于一个有限维向量求导，而前者则相对于一个连续函数（可视为无穷维向量）求导。它们都可以认为是简单的一元微积分中导数的扩展。

定义
在变分法中，泛函通常表示成函数、函数导数以及自变量的积分。例如考虑泛函
如果函数加上一个任意小的变化，把被积函数展开成的幂级数
则泛函的值的变化
一阶项的系数就称为泛函关于函数在点处的泛函导数，记做 。
泛函导数
设有流形M代表（连续/光滑/有某些边界条件等的）函数 φ 以及泛函 ：
则的泛函导数，记做，是一个满足以下条件的分布：
对任何测量函数
称为的变分。是线性泛函，由里斯-马尔可夫-角谷表示定理，这个泛函可表示成对某个测度的积分。就定义为这个测度的拉东-尼科迪姆导数。
把函数看作在处的梯度，看作在处沿方向的方向导数，则类似于向量微积分，梯度与某个方向向量的内积就给出了这个方向的方向导数。
泛函微分
泛函的微分就是
用一个启发性的观点来看，是的改变，形式上有，则上式就和多元函数的全微分相似
比较这两个等式，泛函导数扮演着类似于偏微分的角色，积分变量就像是连续版本的求和指标 。
正式表述
通过更具体地定义函数空间，泛函导数的定义可以在数学上更准确、正式。例如，当函数空间是巴拿赫空间时, 泛函导数就是著名的弗雷歇导数, 而在更一般的局部凸空间上就是加托导数。注意，希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例。更正式的处理使我们能够将普通微积分和数学分析中的许多定理推广为泛函分析中对应的定理，此外还能得到大量的新定理。
性质
与函数的导数类似，泛函导数满足下列的性质（其中和都是泛函）：
其中皆为常数。
若F和G为两个泛函，则
若当中的G为一个普通的可导函数g，则上式化为
确定的泛函导数
有一类常见的泛函，能表示成一个函数及其导数的积分的形式。对于这类泛函，可以给出一个计算泛函导数的公式。
公式
对于泛函
以及在积分区域的边界上取0的函数，由之前的定义
因为是任意的函数，由变分法基本引理，得泛函导数为
以上泛函导数公式可以推广到包含高阶导数的情况
其中是张量算子，分量为
则相应的泛函导数为
例子
托马斯-费米动能泛函
被积函数不含的导数，所以泛函导数
库仑势能泛函
魏茨泽克动能泛函
熵
连续随机变量的熵是其概率密度函数的泛函
指数
这个公式在量子场论中，从配分函数来计算相关函数时特别有用。
函数的泛函导数
函数可以像泛函那样写成一个积分的形式
从而可以把看作关于的泛函。因为这个积分不依赖于的导数，故泛函导数
迭代函数的泛函导数
迭代函数的泛函导数
一般情况
令上式的可以解出反函数的泛函导数
δ函数作为测量函数
在物理学中，常用狄拉克δ函数，而不是一般的测试函数，来得到在点处的泛函导数（这是整个泛函导数上的一点，就像偏导数是梯度的一个分量）
这在可以“在形式上”展开成的级数时是有效的。然而这个公式在数学上是不严密的，甚至连通常都是没有严格定义的。
上面给出的定义是基于一种对所有测量函数f都成立的关系，因此有人可能会想，它在f是一个指定的函数（比如说狄拉克δ函数）时也应该成立。但是，δ函数不是一个合理的测量函数（甚至都不是一个真正的函数）。
在定义中，泛函导数描述了整个函数发生微小变化时，泛函如何变化。其中，的变化量的具体形式没有指明，但应该在整个定义区间上都有变化。使用δ函数形式的扰动表明函数只在点处变化，其他的点都没有变化。
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