波兰表示法

逻辑、算术和代数表示方法

卢卡西威茨(Lukasiewicz，波兰，1878—1956)于20世纪20年代首先使用的一种不需用括号表示一个式子的方法。可用来写出算术表达式、代数表达式和逻辑表达式，其中所有运算符号位于进行这些运算的数据(或变量)之后。在求表达式的值时，它能给出需要求出的全部中间结果，而且在求复杂表达式的值时，特别方便。例如，可以把表达式(X-y)*(A+B)写成无括号的形式：XY-AB+X，它的意义是X与Y相减，A与B相加，然后将前者的“差”与后者的“和”相乘。

定义来源

波兰表示法（Polish notation，或波兰记法），是一种逻辑、算术和代数表示方法，其特点是操作符置于操作数的前面，因此也称做前缀表示法。如果操作符的元数（arity）是固定的，则语法上不需要括号仍然能被无歧义地解析。波兰记法是波兰数学家扬·武卡谢维奇1920年代引入的，用于简化命题逻辑。

扬·武卡谢维奇本人提到：

“

我在1924年突然有了一个无需括号的表达方法，我在文章第一次使用了这种表示法。

”

—— Łukasiewicz(1), p. 610, footnote.

阿隆佐·邱奇在他的经典著作《数理逻辑》中提出该表达方法是一种值得被关注的记法系统，甚至将它与阿弗烈·诺夫·怀海德和伯特兰·罗素在《数学原理》中的逻辑表达式相提并论。波兰表示法虽然在逻辑领域没有被广泛使用，但仍在计算机科学领域占有一席之地。

算术形式

表达“三加四”时，前缀记法写作“+ 3 4”，而不是“3 + 4”。在复杂的表达式中，操作符仍然在操作数的前面，但操作数可能是包含操作符的平凡表达式。例如，如下的中缀表达式：

(5 − 6) * 7写作前缀表示法时是：

*(− 5 6) 7或省略括号：

* − 5 6 7由于简单的算术运算符都是二元的，该前缀表达式无需括号，且表述是无歧义的。在前面的例子里，中缀形式的括号是必需的，如果将括号移动到：

5 − (6 * 7)即：

5 − 6 * 7则会改变整个表达式的值。而其正确的前缀形式是：

− 5 * 6 7减法运算要等它的两个操作数（5；6和7的乘积）都完成时才会处理。在任何表示法中，最里面的表达式最先运算，而在波兰表达式中，决定“最里面”的是顺序而不是括号。

简单算术的前缀表达式主要是用于学术研究方面。与逆波兰表示法不同，前缀表达式基本没有在商业计算器中使用过，但是其体系经常在编译器构造的概念教学中首先使用。

计算机编程

LISP的S-表达式中广泛地使用了前缀记法，S-表达式中使用了括号是因为它的算术操作符有可变的元数（arity）。逆波兰表示法在许多基于堆栈的程序语言（如PostScript）中使用，以及是一些计算器（特别是惠普）的运算原理。

假定只有二元运算时，操作数的个数必然为操作符的个数加一，否则表达式就无意义。这样在计算更复杂，更长的表达式时，可以简单地忽略某些错误表达式，因此在使用前缀记法时必须小心仔细检查其表达意义。

运算顺序

前缀表达式的运算顺序很容易检测。需注意的是，当运算时，操作符是作用在第一个操作数上，特别是需注意不满足交换律的运算，如除法、减法。

基于堆栈的操作符由于其本身的特性，无需括号也很容易区分运算的顺序，因此大量使用波兰记法。运算波兰表达式时，无需记住运算的层次，只需要直接寻找第一个运算的操作符。以二元运算为例，从左至右读入表达式，遇到一个操作符后跟随两个操作数时，则计算之，然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数；重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。因为在正确的前缀表达式中，操作数必然比操作符多一个，所以必然能找到一个操作符符合运算条件；而替换时，两个操作数和一个操作符替换为一个操作数，所以减少了各一个操作符和操作数，仍然可以迭代运算直至计算整个式子。多元运算也类似，遇到足够的操作数即产生运算，迭代直至完成。迭代结束的条件由表达式的正确性来保证。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省

云南省